Bachelier-Modell (Normalmodell)

Bachelier (1900) war das erste Optionspreismodell -- es entstand 73 Jahre vor Black-Scholes. Preisänderungen sind additiv und normalverteilt. Statt prozentuale Renditen zu modellieren (lognormal), modelliert Bachelier Änderungen in Dollar (normal). Der Preis kann negativ werden -- ein Fehler bei Aktien, ein Vorteil bei Zinsen.

Das Modell hat genau einen Parameter: die Normal-Vol, gemessen in absoluten Einheiten (z. B. „$50/Jahr“ statt „30 %/Jahr“). Es gibt kein Smile. Wäre die Welt Bachelier, hätte jede Option über alle Strikes hinweg dieselbe Normal-Vol. Dieses flache Smile ist die zentrale Vorhersage des Modells.

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Skew kann ein Modellartefakt sein

Bachelier erzeugt konstruktionsbedingt ein flaches Smile. Rechnen Sie diese Preise in Black-Scholes-implizite Vol um, erhalten Sie einen Skew. Dieser Skew steckt nicht im Markt -- er ist eine Folge davon, lognormale Mathematik einer Welt aufzuzwingen, die möglicherweise normalverteilt ist.

Das Modell erkunden

Die flache blau gestrichelte Linie ist Bacheliers Sicht: eine Vol für alle Strikes. Die grüne Kurve zeigt dieselben Optionspreise, ausgedrückt in Black-Scholes-Begriffen. Senken Sie den Spotpreis und beobachten Sie, wie der scheinbare BS-Skew steiler wird -- obwohl sich in der Bachelier-Welt nichts geändert hat.

Bachelier vs. Black-Scholes Explorer

Typische Konfiguration. Der Bachelier-Smile ist per Definition flach. Dieselben Preise, in BS-Begriffen ausgedrückt, erzeugen einen Skew.

Normale Vol20

Absolute Vol in $/Jahr (kein Prozentsatz)

Spotpreis (S)100

Niedrigerer Spot = stärkerer scheinbarer BS-Skew

Die flache blaue gestrichelte Linie ist die Sicht von Bachelier: eine Vol für alle Strikes. Die grüne Kurve zeigt dieselben Optionspreise, in Black-Scholes-Begriffen ausgedrückt. Der „Skew“ ist ein Modellartefakt, keine Markteigenschaft.

Was jeder Parameter bewirkt

• Normal-Vol: Der einzige Parameter. Gemessen in absoluten Preiseinheiten pro Jahr (nicht in Prozent). Eine Normal-Vol von 20 bedeutet, dass sich der Preis voraussichtlich um $20 über ein Jahr bewegt (eine Standardabweichung). Alle Strikes erhalten dieselbe Vol -- das Smile ist flach.
• Spotpreis: Verändert das Bachelier-Smile nicht (es bleibt flach). Er beeinflusst jedoch das BS-äquivalente Smile dramatisch. Bei niedrigeren Spotpreisen entspricht dieselbe Dollar-Bewegung einer größeren prozentualen Bewegung, sodass die implizite BS-Vol steigt -- und so einen scheinbaren Put-Skew erzeugt.

Warum der BS-„Skew“ entsteht

Was passiert

Bachelier-Sicht

BS-Sicht

Bewertung einer ATM-Option

Normal-Vol gilt direkt

Lognormale Vol ist etwa normal_vol / spot

OTM-Put (niedriger Strike)

Gleiche Vol wie ATM

Höhere IV, da dieselbe $-Bewegung = größere %-Bewegung bei niedrigerem Preis

OTM-Call (hoher Strike)

Gleiche Vol wie ATM

Niedrigere IV, da dieselbe $-Bewegung = kleinere %-Bewegung bei höherem Preis

Spotpreis senken

Smile bleibt flach

Gesamte Kurve verschiebt sich nach oben, Put-Flügel wird steiler

ℹ️

SABRs Beta bestimmt das Backbone

Das Backbone von SABR (das Smile bei ausgeschalteter Vol-of-Vol) hängt von Beta ab. Beta = 0: Bachelier. Beta = 1: Black-Scholes. Beta legt fest, wo Sie sich auf dem Spektrum zwischen normal und lognormal befinden.

Wo Bachelier eingesetzt wird

Markt

Warum Bachelier

Einheit der Normal-Vol

Zins-Swaptions

Zinsen wurden in EUR, JPY, CHF negativ. BS versagt bei null. Bachelier nicht.

bps/Jahr (z. B. 50 bps)

Spread-Optionen

Spreads können negativ sein. Ein additives Modell ist naheliegend.

$/Jahr oder bps/Jahr

CDS-Optionen

Kredit-Spreads lassen sich natürlich als additive Bewegungen modellieren.

bps/Jahr

Krypto (Nische)

Funding-Rate-Optionen oder Basis-Optionen, bei denen der Basiswert negativ werden kann.

%/Jahr (absolut)

⚠️

Nicht für Krypto-Spot-Optionen

Krypto-Spotpreise sind positiv und zeigen Hebeleffekte (die Vol steigt, wenn der Preis fällt). Das lognormale Framework (die Black-Scholes-Familie) ist hier natürlicher. Bachelier ist das richtige Werkzeug für Zinsen, Spreads und alles, was negativ werden kann.

Bachelier vs. Black-Scholes im Überblick

Bachelier

Black-Scholes

Preisdynamik

Additiv (normal)

Multiplikativ (lognormal)

Vol-Einheit

$/Jahr (absolut)

%/Jahr (relativ)

Negative Preise?

Ja (bewusst so konzipiert)

Nein (Log einer negativen Zahl ist undefiniert)

Form des Smiles

Per Definition flach

Nur flach, wenn die Welt wirklich lognormal ist

Parameter

1 (Normal-Vol)

1 (lognormale Vol)

Umrechnung

σ_n ≈ σ_BS × S (nahe ATM)

σ_BS ≈ σ_n / S (nahe ATM)

Verwendet für

Zinsen, Spreads, CDS

Aktien, FX, Krypto-Spot

Die Umrechnungsformel

Nahe ATM können Sie zwischen beiden umrechnen:

$$\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S$$

Ein Basiswert bei $100 mit 30$30 Normal-Vol. Diese Näherung versagt jedoch abseits von ATM, und genau deshalb entsteht das BS-„Smile“, wenn Sie Bachelier-Preise umrechnen.

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Per Definition flaches Smile

Bachelier behandelt Preisänderungen als additiv. Sein Smile ist per Definition flach. Ein Skew, der nach der Umrechnung in BS-Begriffe auftaucht, ist ein Artefakt der Modellwahl, kein Merkmal des Marktes.

Gleichungs-Explorer

Gleichungs-Explorer

Spot (S)

$

Strike (K)

$

Tage bis zum Verfall

Tage

Risikofreier Zinssatz

%

Implizite Vol (σ)

%

Call-Preis

$8300

Put-Preis

$7890

Call-Δ

0.555

d₁

0.102

Vega

$114

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Testen Sie Ihr Verständnis bevor Sie fortfahren.

Q: Warum erzeugt Bachelier ein flaches Smile, Black-Scholes jedoch nicht?

Q: Wenn Sie Bachelier-Optionspreise in implizite BS-Vol umrechnen, erhalten Sie einen Put-Skew. Woher kommt dieser Skew?

Q: Wann würden Sie bei Krypto Bachelier statt Black-Scholes verwenden?

Q: Wie hängen Normal-Vol und BS-Vol nahe ATM zusammen?

💡 Tipp: Versuchen Sie jede Frage selbst zu beantworten bevor Sie die Antwort aufdecken.

Mathematische Intuition aufbauen

Bachelier von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine Vorkenntnisse nötig

Diese Lektion beginnt mit dem mentalen Modell in einfacher Sprache und behandelt dann die normale Volatilität, die Bewertungsformel und warum ein flaches Normal-Smile als Skew erscheinen kann, nachdem Sie es in Black-Scholes-Begriffe übersetzt haben.

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Siehe auch:

• Black-Scholes -- Das lognormale Gegenstück
• CEV-Modell -- Verbindet normal und lognormal über den Beta-Parameter
• SABR-Modell -- Wählt mit Beta die Position im Spektrum zwischen normal und lognormal
• Displaced Diffusion -- Ein weiterer Ansatz für Basiswerte nahe null
• Implizite Volatilität -- Das Konzept, das von der Modellwahl abhängt
• Skew -- Modellartefakte von Marktmerkmalen unterscheiden