Statische Replikation von Grund auf
1/5Jedes Payoff ist eine Summe einfacherer Payoffs
Jedes komplexe Payoff-Diagramm, das Sie je gesehen haben, ist nur ein Portfolio einfacherer Bausteine. Calls, Puts, Forwards. Die Form, die Sie sehen, ist die Summe ihrer einzelnen Payoff-Linien.
Ein Butterfly besteht aus drei Calls. Ein Straddle ist ein Call plus ein Put. Ein Collar ist Basiswert plus Put minus Call. Nichts davon ist exotisch. Es sind lediglich Linearkombinationen von Vanillas.
Wählen Sie unten eine Payoff-Form aus und klicken Sie dann auf Zerlegen, um die Bestandteile zu sehen, die sich zur grünen Kurve summieren. Die gestrichelten Linien sind die einzelnen Legs. Ihre Summe ergibt die durchgezogene grüne Linie.
Wenn jedes Payoff eine Summe einfacherer Payoffs ist, dann reduziert sich die Bewertung jedes Payoffs auf die Bewertung der Bausteine. Und wenn Sie die Bausteine handeln können, können Sie jede gewünschte Form replizieren, ohne ein maßgeschneidertes Instrument zu benötigen. Das ist das zentrale Versprechen der statischen Replikation.
Vanillas als Bausteine
Ein Call-Spread besteht aus zwei Calls. Ein Butterfly aus drei. Ein Iron Condor aus vier. Mit genügend Calls und Puts an den richtigen Strikes können Sie jedes stückweise lineare Payoff annähern.
Jede Vanilla-Option trägt einen „Knick“ zur kombinierten Auszahlung bei. Ein Call am Strike K biegt die Auszahlung bei K nach oben. Ein Put am Strike K biegt sie unterhalb von K nach oben. Jeder Knick ändert die Steigung um die Stückzahl der Option.
Bauen Sie unten Ihr eigenes Portfolio. Fügen Sie Calls und Puts an verschiedenen Strikes hinzu. Beobachten Sie, wie sich das kombinierte Payoff live aktualisiert. Versuchen Sie, ein flaches Payoff zwischen 90 und 120 zu bauen, mit nichts darüber und darunter.
Das Breeden-Litzenberger-Resultat
Die zweite Ableitung der Call-Preise nach dem Strike ergibt die risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsdichte. Der Markt teilt Ihnen implizit die Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ergebnisses mit.
Breeden und Litzenberger (1978) zeigten: Wenn Sie das Raster der Call-Preise über die Strikes nehmen und an jedem Punkt die Krümmung berechnen, erhalten Sie die Dichtefunktion der risikoneutralen Verteilung. Kein Modell nötig. Nur Preise und Arithmetik.
Die grüne Kurve ist die extrahierte Dichte. Ihr Maximum zeigt, wo der Markt die Abrechnung des Basiswerts am wahrscheinlichsten erwartet. Ihre Breite zeigt, wie unsicher der Markt ist. Erhöhen Sie die Volatilität und beobachten Sie, wie die Dichte flacher und breiter wird.
Das ist keine Schätzung und kein Modelloutput. Es ist eine direkte, modellfreie Extraktion aus Marktpreisen. Die einzige Annahme ist, dass Call-Preise zweimal nach dem Strike differenzierbar sind — was in jedem arbitragefreien Markt erfüllt ist.
Eine binäre Option replizieren
Ein Binary Call zahlt $1 oberhalb des Strikes, $0 darunter. Sie können ihn annähern mit einem engen Call-Spread: Kaufen Sie den Call bei K, verkaufen Sie den Call bei K+ε und skalieren Sie mit 1/ε. Wenn die Spread-Breite gegen null geht, wird aus der Rampe eine Stufe.
Das ist die fundamentale Verbindung zwischen Vanillas und binären Optionen. Eine binäre Option ist der Grenzwert eines Call-Spreads, wenn die Spread-Breite schrumpft. Äquivalent ist die binäre Option die negative Ableitung des Call-Preises nach dem Strike: D(K) = −∂C/∂K.
Ziehen Sie den Schieberegler, um den Spread enger zu machen. Beobachten Sie, wie die blaue Rampe gegen die grüne Stufenfunktion konvergiert.
Beliebige Payoffs replizieren
Carr und Madan (1998) bewiesen, dass sich jedes zweimal differenzierbare europäische Payoff in drei Teile zerlegen lässt: eine Forward-Position, einen Strip von OTM-Puts unterhalb des Forwards und einen Strip von OTM-Calls oberhalb des Forwards.
Das ist die Carr-Madan-Formel. Sie besagt, dass die Krümmung Ihres Ziel-Payoffs — die zweite Ableitung f″(K) — bestimmt, wie viel von jeder OTM-Option Sie benötigen. Der lineare Teil des Payoffs wird durch den Forward abgebildet. Die Krümmung wird durch die Options-Strips abgebildet.
Wählen Sie unten ein Payoff aus und klicken Sie dann auf Carr-Madan-Zerlegung anzeigen, um die drei Teile zu sehen. Die gelbe Linie ist die Forward-Komponente. Der rote Bereich ist der OTM-Put-Strip. Der blaue Bereich ist der OTM-Call-Strip. Zusammen summieren sie sich zum grünen Ziel.
Beachten Sie die Trennlinie bei F (dem Forward-Preis). Unterhalb von F tragen nur Puts bei. Oberhalb von F nur Calls. Das ist nicht willkürlich — die Verwendung von OTM-Optionen minimiert die Replikationskosten, weil OTM-Optionen bei gleichem Informationsgehalt günstiger sind als ITM-Optionen.
Die Carr-Madan-Zerlegung ist das theoretische Fundament von Varianz-Swaps, der VIX-Berechnung und Portfolio-Replikationsstrategien. Die VIX-Formel ist buchstäblich eine diskrete Approximation dieses Integrals. Jedes Mal, wenn Sie einen „Strip von Optionen“ sehen, steckt diese Mathematik dahinter.
Wie es weitergeht:
Binäre Optionen — der Baustein von Replikationsleitern
Delta-Hedging — die dynamische Alternative zur statischen Replikation
Implizite Volatilität — Markterwartungen aus Preisen extrahieren