Black-Scholes-Modell
Black-Scholes beantwortet eine einfache Frage: "Was sollte diese Option kosten?"
Aus fünf Eingaben - Spotpreis, Ausübungspreis, Restlaufzeit bis zum Verfall, Zinssatz und Volatilität - berechnet die Formel einen theoretischen fairen Wert. Sie ist das Standardmodell zur Bewertung europäischer Optionen und die Grundlage für die Berechnung der impliziten Volatilität und der Greeks.
Die Eingaben
Black-Scholes und die Greeks
Probieren Sie den Rechner oben aus. Sehen Sie, wie sich der Preis ändert, wenn Sie einen der Schieberegler bewegen? Diese Sensitivitäten haben Namen - man nennt sie die Greeks.
| Greek | Was es misst |
|---|---|
| Delta | Wie stark sich der Optionspreis bewegt, wenn sich der Spot um $1 bewegt |
| Theta | Wie stark der Optionspreis pro Tag fällt |
| Vega | Wie stark sich der Optionspreis bewegt, wenn sich die IV um 1% bewegt |
| Gamma | Wie stark sich das Delta selbst ändert, wenn sich der Spot bewegt |
Das sind keine abstrakten Zahlen. Probieren Sie es aus: Schieben Sie den Spot langsam nach oben und beobachten Sie den Call-Preis. Genau diese Änderungsrate ist das Delta.
Aber was ist ein Greek eigentlich?
Jedes Greek ist eine Steigung - die Steilheit einer Kurve.
Die Kurve zeigt, wie sich der Optionspreis ändert, wenn sich eine Eingabe ändert. Je steiler die Kurve an Ihrer aktuellen Position, desto empfindlicher reagiert der Preis auf diese Eingabe.
- Flache Kurve → kleines Greek → der Preis reagiert kaum auf diese Eingabe
- Steile Kurve → großes Greek → der Preis bewegt sich stark, wenn sich diese Eingabe ändert
Mehr bedeutet "Ableitung" in der Mathematik nicht - die Steigung einer Kurve in einem Punkt. Jedes Greek misst einfach die Steigung in eine andere Richtung.
Weitere Details zu jedem einzelnen finden Sie in der Greeks-Referenz.
Die Volatilität (σ) ist die einzige Eingabe, die nicht direkt beobachtbar ist. S, K, T und r können Sie nachschlagen - σ muss jedoch geschätzt oder aus Marktpreisen implizit abgeleitet werden. Deshalb ist die implizite Volatilität so wichtig.
Zentrale Annahmen
Black-Scholes geht von Folgendem aus:
| Annahme | Realität |
|---|---|
| Ausschließlich europäische Ausübung | ✓ Entspricht Hypercall |
| Konstante Volatilität | ✗ Die Vol ändert sich ständig |
| Keine Dividenden | ✓ Gilt für Krypto; dividendenzahlende Aktien erfordern eine Anpassung |
| Log-normale Preisverteilung | ✗ Krypto hat Fat Tails |
| Kontinuierlicher Handel | ✓ Krypto wird rund um die Uhr gehandelt |
| Keine Transaktionskosten | ✗ Es gibt Gebühren |
Trotz dieser Grenzen bleibt Black-Scholes die Grundlage der Optionsbewertung.
Warum es wichtig ist
- Branchenstandard - Jeder nutzt es als Referenz
- Herleitung der Greeks - Delta, Gamma, Theta und Vega stammen alle aus Black-Scholes
- Implizite Volatilität - Wird durch Invertieren von Black-Scholes bei gegebenem Marktpreis bestimmt
- Schnelle Plausibilitätsprüfung - Ist diese Option vernünftig bepreist?
In der Praxis
Sie müssen Black-Scholes nicht von Hand berechnen. Plattformen wie Hypercall nutzen es intern, um:
- Theoretische Preise anzuzeigen
- Greeks zu berechnen
- Die implizite Volatilität aus Marktpreisen abzuleiten
Das Modell liefert Ihnen einen theoretischen fairen Wert. Der Marktpreis kann aufgrund von Angebot und Nachfrage abweichen, aber Black-Scholes ist der Referenzpunkt.
Mathematische Intuition aufbauen
Black-Scholes von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine VorkenntnisseDie interaktive Lektion oben erarbeitet die Black-Scholes-Formel von Grund auf: was eine Call-Option ist, die fünf Eingaben (S, K, T, r, σ), der zweiteilige Aufbau der Formel (C = S·N(d₁) − K·e⁻ʳᵀ·N(d₂)), was d₁ und d₂ messen, ein vollständig durchgerechnetes Zahlenbeispiel und das Arbitragefreiheits-Replikationsargument, das den Preis diszipliniert.
Open-Source-Implementierungen
| Repo | Warum ein Blick lohnt |
|---|---|
| QuantLib | C++-Analytics-Bibliothek nach Branchenstandard, kanonische BS-Implementierung |
| py_vollib | Sauberer Python-BS- und IV-Solver, gut lesbar |
| lets_be_rational | Schneller IV-Solver, der zeigt, wie echte Inversion funktioniert |
| RustQuant | Moderne Rust-Quant-Bibliothek mit BS-Bewertung |
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