Displaced Diffusion

Displaced Diffusion (auch verschobenes Lognormalmodell genannt) nimmt Black-Scholes und verschiebt die Preisachse. Statt den Forward-Preis $F$ direkt zu modellieren, modellieren Sie $F + d$ als lognormalverteilt, wobei $d$ die Verschiebung (Displacement) ist. Dadurch entsteht Skew ganz ohne stochastische Volatilität -- allein durch eine Koordinatenverschiebung.

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Eine Koordinatenverschiebung erzeugt Skew

Eine negative Verschiebung erlaubt es dem Basiswert, unter null zu fallen (nützlich für Zinsen). Eine positive Verschiebung verschiebt den Smile nach rechts. Die Verschiebung bricht die Symmetrie von Black-Scholes und erzeugt Skew. Das ATM-Niveau bleibt gleich; OTM-Optionen werden neu bewertet.

Die Parameter erkunden

Bewegen Sie den Regler für die Verschiebung, um zu sehen, wie die Verschiebung der Preisachse Asymmetrie erzeugt. Der Volatilitätsregler steuert das Gesamtniveau. Die gestrichelte blaue Linie zeigt den unverschobenen Fall (Black-Scholes).

Displaced-Diffusion-Explorer

Verschiebung null. Rein lognormal – flacher Smile, kein Skew.

Vol-Niveau40%

Basisvolatilität des verschobenen Prozesses

Verschiebung (d)0

Negativ = erlaubt negative Preise, Positiv = nach rechts verschoben

Bewegen Sie den Verschiebungs-Regler, um zu sehen, wie das Verschieben der Preisachse Skew erzeugt. Die gestrichelte blaue Linie zeigt den unverschobenen Smile als Referenz.

Was die einzelnen Parameter bewirken

• Sigma (Volatilitätsniveau): Die implizite Volatilität, die auf den verschobenen Forward angewendet wird. Höheres Sigma = alles wird teurer.
• Verschiebung (d): Wie weit Sie die Preisachse verschieben. Ein negatives d erzeugt Put-Skew (die Volatilität steigt, wenn der Preis fällt). Ein positives d erzeugt leichten Call-Skew. Eine Verschiebung von null entspricht dem Standard-Black-Scholes-Modell.

Stärken und Grenzen

Stärke

Was das für Sie bedeutet

Verarbeitet negative Werte

Mit negativer Verschiebung erlaubt das Modell negative Preise des Basiswerts. Das war entscheidend, als die Zinsen negativ wurden.

Bewertung in geschlossener Form

Es ist buchstäblich Black-Scholes mit verschobenen Eingaben. Jede BS-Formel, jeder Greek -- alles lässt sich exakt übertragen.

Zwei Parameter

Volatilitätsniveau und Verschiebung. Einfach zu kalibrieren, schwer zu überanpassen.

Grenze

Was das für Sie bedeutet

Keine Smile-Krümmung

Wie CEV erzeugt Displaced Diffusion Skew (Neigung), aber keinen Smile (Krümmung). Es kann keinen Markt-Smile abbilden, der an beiden Flügeln nach oben gekrümmt ist.

Nur linearer Skew

Der erzeugte Skew ist über die Strikes nahezu linear. Echter Markt-Skew ist gekrümmt, besonders bei Optionen mit kurzer Laufzeit.

Verschiebung ist willkürlich

Es gibt keinen ökonomischen Grund für einen bestimmten Verschiebungswert. Er ist ein Anpassungsparameter, keine Modellerkenntnis.

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Der schnellste Weg von Black-Scholes zu Skew

Displaced Diffusion ist der schnellste Weg, Black-Scholes um Skew zu erweitern. Ein guter Ausgangspunkt, aber echte Märkte benötigen mehr Parameter. Für sauberes Delta- und Vega-Hedging über die gesamte Laufzeitstruktur benötigen Sie ein reichhaltigeres Modell.

Gleichungs-Explorer

Rechnen Sie zwischen impliziter Volatilität, Gesamtvarianz, Log-Moneyness und Optionspreisen um.

Gleichungs-Explorer

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Implizite Vol (σ)

%

Die implizite Volatilität

Zeit bis zum Verfall

Tage

Kalendertage bis zum Verfall

Gesamtvarianz (w)

0.022225

Annualisierte Varianz (σ²)

0.2704

Zurückgerechnete IV

52.00%

Die Gesamtvarianz ist das, was SVI und andere Modelle fitten. Sie skaliert mit der Zeit: 50% Vol über 30 Tage hat weniger Gesamtvarianz als 50% Vol über 90 Tage.

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Testen Sie Ihr Verständnis bevor Sie fortfahren.

Q: Was bewirkt eine negative Verschiebung beim Volatilitäts-Smile?

Q: Warum war Displaced Diffusion um 2014 bis 2016 an den Zinsmärkten so beliebt?

💡 Tipp: Versuchen Sie jede Frage selbst zu beantworten bevor Sie die Antwort aufdecken.

Mathematische Intuition aufbauen

Displaced Diffusion von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine Vorkenntnisse nötig

Diese Lektion erklärt den Trick mit der verschobenen Achse in einfacher Sprache, zeigt, wie der Verschiebungsparameter den Smile verändert, und verbindet das Modell wieder mit der Black-Scholes-Intuition.

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Siehe auch:

• CEV-Modell -- Ein weiteres einfaches Skew-Modell (Potenzgesetz-Backbone)
• SABR-Modell -- Vollständiges Modell mit stochastischer Volatilität (CEV-Backbone + Vol-of-Vol)
• Skew -- Warum der Smile geneigt ist
• Interpolationsmethoden -- Alle Smile-Modelle im Vergleich