Interpolationsmethoden für Volatilitätsoberflächen

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Dies ist eine Begleitseite zu Wie Volatilitätsoberflächen aufgebaut werden. Beginnen Sie dort, um zu verstehen, warum Interpolation wichtig ist.

Die Volatilitätsoberfläche hat Lücken. Interpolation füllt sie. Die Wahl der Methode entscheidet darüber, ob die resultierende Oberfläche glatt, arbitragefrei und stabil ist. Diese Seite vergleicht die wichtigsten Ansätze.

Interpolationsmethoden im Vergleich

Die weißen Punkte sind die einzigen echten Marktkurse. Alles dazwischen ist geschätzt. Klicken Sie jede Methode um ihre Stärken und Schwächen zu sehen.

Was schiefgeht

Bevor wir uns die einzelnen Methoden ansehen, betrachten Sie die Probleme selbst. Dieselben 7 Marktbeobachtungen, drei verschiedene Interpolationsmethoden. Achten Sie darauf, was in den Flügeln und an den Datenpunkten passiert.

Was schiefgeht: Interpolationsfehler

Dieselben 7 Marktbeobachtungen, drei verschiedene Interpolationsmethoden. Achten Sie darauf, was in den Flügeln passiert.

Glatte Polynomkurven. Können in den Flügeln oszillieren und überschwingen.

Die weißen Punkte sind die einzigen echten Beobachtungen. Klicken Sie auf „Alle vergleichen“, um alle drei Methoden zu überlagern. Beachten Sie, wie der Spline im linken Flügel überschwingt, während SVI begrenzt bleibt.

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Nichtparametrische Methoden

Diese Methoden legen Kurven durch Datenpunkte, ohne eine funktionale Form vorauszusetzen. Sie sind schnell und einfach, bieten aber keine strukturellen Garantien.

Lineare Interpolation

Ziehen Sie gerade Linien zwischen benachbarten Datenpunkten.

Vorteile:

• Trivial zu implementieren
• Kein Fitting und keine Optimierung
• Deterministisch: gleiche Eingaben liefern immer gleiche Ausgaben

Nachteile:

• Erzeugt scharfe Ecken an jedem Datenpunkt. Diese Ecken führen zu unstetigen ersten Ableitungen, sodass die Greeks (insbesondere Gamma) an beobachteten Strikes abrupt springen.
• Keine Garantie gegen Butterfly-Arbitrage. Eine gerade Linie zwischen zwei Punkten kann unter den Verlauf fallen, den ein konvexes Smile haben sollte.
• Extrapolation ist reine Spekulation (es wird lediglich die Steigung des letzten Segments fortgesetzt).

Einsatzbereich: Schnelle Schätzungen, Plausibilitätsprüfungen, Debugging. Nicht für die Bepreisung im Produktivbetrieb.

Kubische Spline-Interpolation

Stückweise kubische Polynome werden zwischen die Datenpunkte gelegt, wobei die erste und zweite Ableitung an jeder Verbindungsstelle übereinstimmen müssen. Das Ergebnis ist eine $C^2$-glatte Kurve (stetige Krümmung).

Der Name stammt von physischen Zeichensplines: biegsamen Holzleisten, die Zeichner durch Stifte bogen, um glatte Kurven zu zeichnen.

Vorteile:

• Glatte Kurve durch alle Datenpunkte
• Keine Parameterschätzung (der Spline ist durch die Daten und Randbedingungen bestimmt)
• Schnell zu berechnen

Nachteile:

• Runge-Phänomen: An den Rändern des Interpolationsbereichs kann das Polynom stark überschießen. Bei Volatilitätsoberflächen bedeutet das Flügel-IVs, die nach oben ausschlagen oder negativ werden.
• Oszillation: Zwischen den Datenpunkten kann die kubische Funktion über oder unter das ausschlagen, was ein gutartiges Smile ergeben würde, und konkave Einbuchtungen erzeugen (Butterfly-Arbitrage).
• Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern: Ein einziger fehlerhafter Datenpunkt (veralteter Quote, Fat Finger) verzerrt die gesamte Kurve, weil die Glattheitsbedingungen den Fehler weitertragen.
• Keine Kontrolle über das Extrapolationsverhalten.

Einsatzbereich: Visualisierung, akademische Arbeit oder als Startwert vor einem parametrischen Fitting. Nicht für Bepreisung oder Risikosteuerung im Produktivbetrieb.

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Parametrische Methoden

Diese Methoden setzen eine funktionale Form für das Smile voraus und passen deren Parameter an die Daten an. Sie tauschen exakte Interpolation gegen strukturelle Kontrolle.

SVI (Stochastic Volatility Inspired)

Der Branchenstandard für Volatilitätsoberflächen bei Krypto- und Aktienoptionen. Fünf Parameter pro Verfallsscheibe.

$$w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)$$

Vollständige Referenz: SVI-Parametrisierung

Warum es dominiert: SVI trifft genau den Punkt zwischen Flexibilität und Sparsamkeit. Fünf Parameter können nahezu jede beobachtete Smile-Form abbilden, während einfache Ungleichungsbedingungen plus eine günstige Dichteprüfung Butterfly-Arbitrage ausschließen. Die Flügel nähern sich linearen Asymptoten an, sodass die Extrapolation begrenzt und sinnvoll bleibt.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)

Ein stochastisches Volatilitätsmodell, das das Smile aus Annahmen über die Entwicklung der Volatilität ableitet. Vier Parameter: $\alpha$ (Volatilitätsniveau), $\beta$ (CEV-Exponent), $\rho$ (Spot-Vol-Korrelation), $\nu$ (Vol-of-Vol).

Vollständige Referenz: SABR-Modell

Warum es existiert: SABR erfasst die Dynamik des Smiles, nicht nur dessen statische Form. Es sagt Ihnen, wie sich das Smile bewegen sollte, wenn sich der Basiswert bewegt (standardmäßig Sticky Delta). Das macht es zur natürlichen Wahl für Zins-Swaptions, bei denen die Smile-Dynamik für das Hedging entscheidend ist.

Lokale Volatilität (Dupire)

Keine Fitting-Methode im üblichen Sinne. Die lokale Volatilität leitet aus der beobachteten Oberfläche der impliziten Volatilität eine Oberfläche der momentanen Volatilität ab. Sie beantwortet die Frage: „Wie hoch muss die momentane Volatilität bei jeder Kombination aus (Spot, Zeit) sein, um diese Optionspreise exakt zu reproduzieren?“

Vollständige Referenz: Lokale Volatilität

Warum es existiert: Die lokale Volatilität ist das eindeutige arbitragefreie Modell, das alle beobachteten Optionspreise exakt trifft. Sie ist die Brücke zwischen impliziter Volatilität und einer Pricing-Engine, die pfadabhängige Auszahlungen verarbeiten kann.

SSVI (Surface SVI)

Eine Erweiterung von SVI, die die gesamte Oberfläche gemeinsam modelliert statt Scheibe für Scheibe. SSVI garantiert konstruktionsbedingt Freiheit von Kalenderarbitrage: Die Gesamtvarianz steigt bei jedem Strike garantiert mit der Laufzeit.

$$w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)$$

Dabei ist $\theta_t$ die ATM-Gesamtvarianz zum Zeitpunkt $t$, und $\varphi(\theta_t)$ steuert, wie sich der Skew mit der Laufzeit entwickelt.

Kompromiss: Weniger freie Parameter als SVI pro Scheibe (die Smile-Form ist über die Verfallstermine hinweg gekoppelt), daher kann die Anpassung an einzelnen Scheiben etwas schlechter ausfallen. Dafür sind nachträgliche Korrekturen von Kalenderarbitrage nie nötig.

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Vergleichstabelle

Methode

Parameter

Arbitragefrei?

Extrapolation

Geschwindigkeit

Am besten für

Linear

0

Nein

Unbegrenzt

Sofort

Debugging

Kubischer Spline

~12 (implizit)

Nein

Oszilliert

Schnell

Visualisierung

SVI

5 pro Scheibe

Ja (mit Beschränkungen)

Begrenzt linear

Schnell

Krypto / Aktien

SABR

4

Weitgehend

Vernünftig

Mittel

Zinsen / Swaptions

Lokale Vol

Vollständiges Gitter

Konstruktionsbedingt

N/A (abgeleitet)

Langsam

Bepreisung exotischer Optionen

SSVI

~6 (Oberfläche)

Ja (auch Kalender)

Begrenzt

Schnell

Konsistenz der gesamten Oberfläche

Die richtige Wahl

• Für die Bepreisung von Krypto- und Aktienoptionen im Produktivbetrieb: SVI oder SSVI. Die Branche hat sich aus gutem Grund darauf geeinigt.
• Für Zinsoptionen: SABR. Es erfasst die Smile-Dynamik, die für das Hedging von Swaptions entscheidend ist.
• Für die Bepreisung exotischer Derivate: Lokale Volatilität (oder ein hybrides stochastisch-lokales Volatilitätsmodell). Sie benötigen die gesamte Oberfläche, nicht nur einzelne Scheiben.
• Für schnelle Analysen oder Visualisierung: Ein kubischer Spline ist in Ordnung, solange Sie nicht darauf handeln.
• Für gar nichts: Lineare Interpolation im Produktivbetrieb. Im Ernst.

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Gleichungs-Explorer

Alle Interpolationsmethoden arbeiten mit Gesamtvarianz und Log-Moneyness. Nutzen Sie diesen Rechner, um zwischen den Darstellungen umzurechnen.

Gleichungs-Explorer

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Implizite Vol (σ)

%

Die implizite Volatilität

Zeit bis zum Verfall

Tage

Kalendertage bis zum Verfall

Gesamtvarianz (w)

0.022225

Annualisierte Varianz (σ²)

0.2704

Zurückgerechnete IV

52.00%

Die Gesamtvarianz ist das, was SVI und andere Modelle fitten. Sie skaliert mit der Zeit: 50% Vol über 30 Tage hat weniger Gesamtvarianz als 50% Vol über 90 Tage.

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Siehe auch:

• Wie Volatilitätsoberflächen aufgebaut werden - Die vollständige Pipeline
• SVI-Parametrisierung - SVI im Detail
• SABR-Modell - SABR im Detail
• Lokale Volatilität - Dupire im Detail