Sprung- und Fat-Tail-Modelle
Der Markt springt. Ein Protokoll-Exploit, eine überraschende Fed-Entscheidung, eine Liquidationskaskade. Stochastische Volatilitätsmodelle tun sich mit plötzlichen Sprüngen schwer. Sprungmodelle bilden sie direkt ab: Der Preis springt zu zufälligen Zeitpunkten auf ein neues Niveau.
Auf einen Blick
Was sie gemeinsam haben
Alle drei Modelle erklären Fat Tails und steile Smiles bei kurzen Laufzeiten, indem sie Preissprünge zulassen. Sie unterscheiden sich in der Sprungverteilung und darin, ob eine kontinuierliche Diffusionskomponente vorhanden ist.
Wie sie zueinander stehen
Merton ist das Original: Man nimmt Black-Scholes und fügt zufällige Sprünge hinzu, die aus einer Lognormalverteilung gezogen werden. Die Sprünge sind symmetrisch, daher verbreitert das Modell beide Tails gleichermaßen. Kou behebt dies, indem der lognormale Sprung durch eine doppelt exponentielle Verteilung ersetzt wird. Das liefert getrennte Parameter für Aufwärts- und Abwärtssprünge, sodass Crashs größer ausfallen können als Rallys. Variance Gamma geht einen anderen Weg: Es entfernt die Diffusion vollständig und modelliert Renditen als Brownsche Bewegung, die auf einer zufälligen Uhr (einem Gamma-Prozess) läuft. Jede Bewegung stammt aus Sprüngen. Damit ist es ein reiner Sprungprozess, bei dem die Kurtosis- und Skew-Parameter die Form der Tails direkt steuern.
Modelle in diesem Abschnitt:
- Merton Jump-Diffusion - Das ursprüngliche Sprungmodell
- Kou Jump-Diffusion - Asymmetrische, doppelt exponentielle Sprünge
- Variance Gamma - Reiner Sprungprozess mit zufälliger Uhr