Kou Double-Exponential-Jump-Diffusion

Merton modelliert Sprünge mit einer einzigen Normalverteilung -- Aufwärts- und Abwärtssprünge haben dieselbe Form. Falsch. Crashs verlaufen schärfer als Rallys. Eine Lücke von -20 % entsteht in Minuten, eine Rally von +20 % dauert Wochen. Kou (2002) behebt dies, indem Aufwärts- und Abwärtssprünge unterschiedliche Größen erhalten.

Der Mechanismus: Exponentialverteilungen statt Normalverteilung. Abwärtssprünge erhalten eine Exponentialverteilung (typischerweise mit größerem Mittelwert), Aufwärtssprünge eine andere (typischerweise mit kleinerem Mittelwert). So wird der Put-Flügel steiler, ohne den Call-Flügel zu berühren, und umgekehrt.

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Jeder Flügel hat seinen eigenen Parameter

Bei Merton beeinflusst ein steilerer Put-Flügel (über einen negativen mittleren Sprung) auch den Call-Flügel. Bei Kou ist jeder Flügel unabhängig. Die Abwärtssprunggröße macht den Put-Flügel steiler. Die Aufwärtssprunggröße macht den Call-Flügel steiler. Das passt zu den Smiles am Kryptomarkt.

Die Parameter erkunden

Aktivieren Sie "Show Merton equiv", um zu sehen, wie sich ein symmetrisches Modell (Merton) im Vergleich zu Kous asymmetrischen Flügeln verhält. Probieren Sie das Preset "Crypto crashes", um den steilen Put-Flügel mit einem flachen Call-Flügel zu sehen.

Kou-Doppelexponential-Smile-Explorer

Abwärtssprünge dominieren: 70% der Sprünge gehen nach unten und sind 4x größer als Aufwärtssprünge. Steiler Put-Flügel.

Sprungfrequenz2.00

Erwartete Sprünge pro Jahr. 0 = flach (BS).

Wahrscheinlichkeit für Aufwärtssprung0.30

Anteil der Aufwärtssprünge. Niedrig = Crash-Neigung.

Größe des Aufwärtssprungs0.05

Durchschn. Größe des Aufwärtssprungs (z. B. 0.08 = 8%)

Größe des Abwärtssprungs0.20

Durchschn. Größe des Abwärtssprungs (z. B. 0.15 = 15%)

Aktivieren Sie „Merton-Äquiv. anzeigen“, um asymmetrische (Kou) mit symmetrischen (Merton) Sprüngen zu vergleichen. Beachten Sie, wie Kou einen Flügel unabhängig steiler machen kann.

Was jeder Parameter bewirkt

• Sprunghäufigkeit (Lambda): Wie viele Sprünge pro Jahr. Null = Black-Scholes (flacher Smile). Ein höheres Lambda hebt beide Flügel an, weil jeder Sprung -- nach oben oder unten -- OTM-Optionen wertvoller macht.
• Wahrscheinlichkeit eines Aufwärtssprungs (p): Welcher Anteil der Sprünge nach oben geht. Ein niedriges p bedeutet, dass die meisten Sprünge Crashs sind. Dies verschiebt das Gleichgewicht des Skew.
• Aufwärtssprunggröße: Durchschnittliche Größe von Aufwärtslücken. Größer = steilerer Call-Flügel.
• Abwärtssprunggröße: Durchschnittliche Größe von Abwärtslücken. Größer = steilerer Put-Flügel. Bei Krypto ist dieser Wert typischerweise das 2- bis 4-Fache der Aufwärtssprunggröße.

Wie Kou die Flügel formt

Parameteränderung

Effekt auf Put-Flügel

Effekt auf Call-Flügel

Intuition

Abwärtssprunggröße erhöhen

Wird steiler

Minimale Änderung

Größere Crashs = teurere Put-Absicherung

Aufwärtssprunggröße erhöhen

Minimale Änderung

Wird steiler

Größere Rallys = teurerer Call-Flügel

Wahrscheinlichkeit eines Aufwärtssprungs senken

Wird steiler

Wird flacher

Mehr Sprünge nach unten = Crash-Tendenz

Sprunghäufigkeit erhöhen

Steigt

Steigt

Mehr Ereignisse insgesamt = mehr Tail-Risiko in beide Richtungen

ℹ️

Unabhängige Steuerung der Flügel

Bei Merton beeinflusst ein steilerer Put-Flügel über einen negativen mittleren Sprung auch den Call-Flügel (die Normalverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert). Bei Kou steuert die Abwärtssprunggröße den Put-Flügel und die Aufwärtssprunggröße den Call-Flügel. Aktivieren Sie "Show Merton equiv", um den Unterschied zu sehen.

Kou vs. Merton

Kou

Merton

Sprungverteilung

Doppelt exponentiell (asymmetrisch)

Normal (symmetrisch um den Mittelwert)

Unabhängigkeit der Flügel

Put- und Call-Flügel getrennt gesteuert

Eine Änderung des Skew beeinflusst beide Flügel

Tail-Abfall

Exponentielle Tails (schwerer als normal)

Gaußsche Tails (dünner)

Parameter

5 (σ, λ, p, η₁, η₂)

4 (σ, λ, μ_J, σ_J)

Bewertung von Barrier/Lookback

Geschlossene Lösung verfügbar

Keine geschlossene Lösung (erfordert MC)

Eignung für Krypto

Besser (asymmetrische Flügel entsprechen der Realität)

Ordentlich (hat aber Probleme mit der Unabhängigkeit der Flügel)

Warum Krypto-Trader sich dafür interessieren sollten

Das Gap-Risiko bei Krypto ist stark asymmetrisch:

Ereignistyp

Typische Größe

Geschwindigkeit

Kou-Parameter

Liquidationskaskade

-10 % bis -30 %

Minuten

Abwärtssprunggröße (groß)

Lücke durch Börsenausfall

Beide Richtungen, -20 % bis +10 %

Sofort

Beide Sprunggrößen + Wahrscheinlichkeit

Rally nach ETF-Zulassung

+5 % bis +15 %

Stunden

Aufwärtssprunggröße (moderat)

Stablecoin-Depeg

-5 % bis -50 %

Blöcke

Abwärtssprunggröße (sehr groß)

Beachten Sie das Muster: Abwärtsbewegungen sind schneller und größer als Aufwärtsbewegungen. Merton kann diese Asymmetrie nicht sauber abbilden -- Sie können den Mittelwert ins Negative verschieben, aber die Symmetrie der Normalverteilung um diesen Mittelwert wirkt trotzdem auf den Call-Flügel. Kous doppelte Exponentialverteilung trennt beide auf natürliche Weise.

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Das Sprungmodell für unabhängiges Fitting der Flügel

Kou trennt Put- und Call-Flügel. Die Abwärtssprunggröße ist der Crash-Parameter. Die Aufwärtssprunggröße ist der Rally-Parameter. Sie beeinflussen sich nicht gegenseitig. Wenn Sie OTM-Puts und -Calls als getrennte Bücher handeln -- und bei Krypto sollten Sie das --, passt Kou zu dieser Struktur.

Gleichungs-Explorer

Gleichungs-Explorer

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Implizite Vol (σ)

%

Die implizite Volatilität

Zeit bis zum Verfall

Tage

Kalendertage bis zum Verfall

Gesamtvarianz (w)

0.022225

Annualisierte Varianz (σ²)

0.2704

Zurückgerechnete IV

52.00%

Die Gesamtvarianz ist das, was SVI und andere Modelle fitten. Sie skaliert mit der Zeit: 50% Vol über 30 Tage hat weniger Gesamtvarianz als 50% Vol über 90 Tage.

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Testen Sie Ihr Verständnis bevor Sie fortfahren.

Q: Was ist der entscheidende Vorteil von Kou gegenüber Merton beim Fitting von Vol-Smiles?

Q: Warum sind exponentielle Tails für Krypto-Sprunggrößen realistischer als Gaußsche Tails?

Q: Wenn Sie die Abwärtssprunggröße von 10 % auf 25 % erhöhen, was passiert mit dem Call-Flügel?

Q: Welchen praktischen Vorteil hat Kou gegenüber Merton bei der Bewertung exotischer Optionen?

💡 Tipp: Versuchen Sie jede Frage selbst zu beantworten bevor Sie die Antwort aufdecken.

Mathematische Intuition aufbauen

Kou von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine Vorkenntnisse nötig

Diese Lektion erklärt das Modell als getrennte Sprungmotoren für Aufwärts- und Abwärtsbewegungen, geht dann die Intuition hinter der doppelten Exponentialverteilung durch und zeigt, warum sie eine sauberere Steuerung der Flügel als Merton ermöglicht.

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Siehe auch:

• Merton-Jump-Diffusion -- Der Vorgänger mit symmetrischen Sprüngen
• Bates-Modell -- Kombiniert stochastische Volatilität mit Merton-Sprüngen
• Variance Gamma -- Ein reines Sprungmodell ohne Diffusion
• Heston-Modell -- Stochastische Volatilität (der andere Weg zu einem Smile)
• Skew -- Warum der Smile geneigt ist
• Black-Scholes -- Die Basis ohne Sprünge
• Interpolationsmethoden -- Alle Methoden im Vergleich