Lokale Volatilität

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Diese Seite behandelt das Dupire-Modell der lokalen Volatilität. Wie es sich in die Pipeline der Volatilitätsoberfläche einfügt, erfahren Sie unter Wie Oberflächen aufgebaut werden. Einen Vergleich mit anderen Methoden finden Sie unter Interpolationsmethoden.

Lokale Volatilität ist die momentane Volatilität des Basiswerts bei einem bestimmten Preisniveau und zu einem bestimmten Zeitpunkt. Sie ist die Funktion $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$, die, in ein Diffusionsmodell eingesetzt, alle beobachteten Preise europäischer Optionen exakt reproduziert.

Die Idee wurde unabhängig voneinander von Bruno Dupire (1994) sowie von Derman & Kani (1994) entwickelt. Es ist das einzige Modell, das die gesamte Oberfläche der impliziten Volatilität ohne zusätzliche Annahmen trifft.

Implizite Vol vs. lokale Vol

Die zentrale Erkenntnis: Die implizite Volatilität ist ein gemischter Durchschnitt der lokalen Volatilitäten entlang des Pfades bis zum Verfall. Die lokale Volatilität ist die momentane, "punktweise" Volatilität.

Implizite Volatilität vs. lokale Volatilität

Typischer Aktien-/Krypto-Smile. Die lokale Volatilität ist höher und spitzer als die implizite.

Die lokale Volatilität (durchgezogen) ist immer spitzer als die implizite Volatilität (gestrichelt). Die implizite Volatilität ist ein gewichteter Durchschnitt der lokalen Volatilitäten entlang des Pfades.

Wechseln Sie zwischen den Smile-Formen und achten Sie auf Folgendes:

• Die lokale Vol ist immer spitzer. Da die implizite Vol über den Pfad mittelt, glättet sie die Extreme. Die lokale Vol zeigt das rohe, ungemittelte Bild.
• Steilerer impliziter Skew = drastischere lokale Vol. Im Fall des steilen Skews (Krise) divergiert die lokale Vol im linken Flügel. Das Modell sagt damit: "Wenn der Spot so weit fällt, müsste die momentane Vol sehr hoch sein, um die beobachteten Put-Preise zu treffen."
• Die Beziehung ähnelt der zwischen Spot-Zinsen und Forward-Zinsen. Die implizite Vol ist der Spot-Zins (Durchschnitt von heute bis zur Fälligkeit). Die lokale Vol ist der Forward-Zins (der momentane Zins zu einem zukünftigen Zeitpunkt).

Was lokale Vol bedeutet

Stellen Sie sich vor, der Preis des Basiswerts bewegt sich durch eine Landschaft von Volatilitäten. An jedem Punkt im (Preis, Zeit)-Raum gibt es eine bestimmte Volatilität. Während der Basiswert umherwandert, erfährt er unterschiedliche momentane Volatilitäten.

Eine 30-Tage-Option am Geld (ATM) mit 50 % impliziter Vol könnte entlang ihres Pfades lokale Volatilitäten zwischen 40 % und 65 % durchlaufen. Die implizite Vol von 50 % ist der risikoneutrale Durchschnitt über all diese lokalen Volatilitäten, gewichtet nach der auf jedem Niveau verbrachten Zeit.

Deshalb können zwei Optionen mit unterschiedlichen Strikes unterschiedliche implizite Volatilitäten haben, obwohl sie vom selben zugrunde liegenden Prozess abhängen: Sie durchlaufen unterschiedliche Bereiche der Landschaft der lokalen Vol.

Wann man lokale Vol einsetzt

Bewertung exotischer Optionen

Der primäre Anwendungsfall der lokalen Vol. Der Ablauf:

1. Preise europäischer Optionen (oder implizite Volatilitäten) am Markt beobachten
2. Eine arbitragefreie Oberfläche der impliziten Vol anpassen (mit SVI, SSVI oder Ähnlichem)
3. Die Oberfläche der lokalen Vol über Dupires Formel herleiten
4. Eine numerische Bewertungs-Engine (Finite-Differenzen-PDE oder Monte Carlo) auf Basis der Oberfläche der lokalen Vol aufbauen
5. Die exotische Option bewerten, indem der Basiswert durch die Landschaft der lokalen Vol entwickelt wird

Die Garantie: Jede unter lokaler Vol bewertete exotische Option ist konsistent mit allen beobachteten Preisen europäischer Optionen. Ihr Preis für eine Barrier-Option widerspricht nicht den Vanillas, was für die Absicherung entscheidend ist.

Oberflächenkonsistente Greeks

Unter lokaler Vol berechnete Greeks berücksichtigen, dass sich die Vol ändert, wenn sich der Spot bewegt. Das Delta unter lokaler Vol unterscheidet sich vom Black-Scholes-Delta, weil das Modell "weiß", dass ein Wechsel auf ein anderes Spot-Niveau eine andere lokale Vol bedeutet. Konzeptionell ähnelt das dem, was Taleb "Shadow Gamma" nennt: die zusätzliche Delta-Änderung, die entsteht, weil sich die Vol aufgrund der Spot-Bewegung verändert.

Das Dynamikproblem

Die lokale Vol hat eine bekannte Schwäche: Sie sagt eine falsche Smile-Dynamik voraus.

Unter lokaler Vol ist die Volatilität eine deterministische Funktion des Spots. Sobald Sie wissen, wo der Spot steht, wissen Sie genau, wie hoch die Vol ist. Es gibt keine "Überraschung" bei der Vol. Das bedeutet:

• Wenn der Spot fällt, sagt die lokale Vol, dass die Vol bei diesem Preis schon immer so hoch sein sollte. Der Smile flacht ab.
• In der Praxis steigt die Vol bei fallendem Spot oft stärker, als die lokale Vol vorhersagt, und der Smile wird steiler.

Das Ergebnis: Die lokale Vol unterbewertet systematisch Optionen, die von der künftigen Smile-Form abhängen (Barrier-Optionen, Forward-Start-Optionen, Cliquets).

Lokale Vol vs. andere Modelle

	Lokale Vol	SVI	SABR
Was es ist	Momentane Vol an jedem (S, t)	Parametrische Smile-Form	Modell stochastischer Vol
Beobachtbar?	Nein (hergeleitet)	Nein (angepasst)	Nein (angepasst)
Exakte Kalibrierung	Ja (per Konstruktion)	Näherungsweise	Näherungsweise
Smile-Dynamik	Falsch (deterministisch)	Nicht spezifiziert	Besser (stochastisch)
Exotische Bewertung	Ja (Hauptanwendung)	Nein	Eingeschränkt
Geschwindigkeit	Langsam (PDE/MC)	Schnell	Schnell (Formel)
Am besten für	Barriers, Asians, Exoten	Vanilla-Bewertung, Risiko	Swaptions, FX-Vanillas

Verbindung zu anderen Modellen

Von impliziter zu lokaler Vol: Dupires Formel. Erfordert eine arbitragefreie implizite Oberfläche als Eingabe.

Von lokaler zu impliziter Vol: Eine Forward-PDE unter der Oberfläche der lokalen Vol lösen, europäische Optionen bewerten und invertieren, um implizite Volatilitäten zu erhalten. Dieser Hin- und Rückweg ist per Konstruktion exakt.

SABR und lokale Vol: Der Parameter $\beta$ von SABR steuert das Rückgrat der lokalen Vol (absolute Vol $\sim F^\beta$, also prozentuale Vol $\sigma_{\text{loc}} \sim F^{\beta - 1}$), während $\nu$ eine stochastische Schicht darüberlegt. SABR lässt sich als parametrische Näherung der lokalen Vol mit zusätzlicher Dynamik verstehen.

SVI und lokale Vol: SVI liefert Ihnen die implizite Oberfläche. Dupire liefert Ihnen daraus die lokale Vol. Die Kette: Marktquotes -> SVI-Fit -> implizite Oberfläche -> Dupire -> lokale Vol -> Bewertung exotischer Optionen.

Mathematische Intuition aufbauen

Lokale Volatilität von Grund auf lernenInteraktive Lektion · behandelt Dupires Formel

Die interaktive Lektion oben behandelt das Dupire-Modell der lokalen Volatilität von Grund auf: warum die implizite Vol ein pfadgewichteter Durchschnitt lokaler Volatilitäten ist, wie Dupires Formel die lokale Vol aus beobachteten Preisen extrahiert, wie der Smile der impliziten Vol mit der Oberfläche der lokalen Vol zusammenhängt und warum die lokale Vol für die Bewertung pfadabhängiger Exoten wichtig ist.

Open-Source-Implementierungen

Repo	Warum ein Blick lohnt
QuantLib	Dupire-Modell der lokalen Vol mit FD-Bewertungs-Engine
OpenGamma Strata	Aufbau der Oberfläche der lokalen Vol aus Marktdaten
RustQuant	Bewertung mit lokaler Vol in Rust

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Siehe auch:

• SVI-Parametrisierung - Das Modell zum Aufbau der impliziten Oberfläche
• SABR-Modell - Eine Alternative mit stochastischer Vol
• Interpolationsmethoden - Alle Methoden im Vergleich
• Wie Oberflächen aufgebaut werden - Die vollständige Pipeline