Wie Volatilitätsoberflächen aufgebaut werden
Im Markt sehen Sie keine kontinuierliche Oberfläche. Sie sehen verstreute Quotierungen bei einer Handvoll Strikes und Verfallsterminen. Die „Oberfläche" entsteht, indem man diese Quotierungen in implizite Volatilität umrechnet, die Lücken füllt und Konsistenzregeln durchsetzt, damit niemand risikolos Geld abschöpfen kann.
Diese Seite führt Sie durch diese Pipeline: rohe Quotierungen rein, glatte Oberfläche raus.
Schritt 1: Mit spärlichen Quotierungen beginnen
Optionsmärkte quotieren nicht jeden möglichen Strike und Verfall. Bei einem beliebigen Instrument sehen Sie vielleicht Quotierungen für 15 bis 20 Kombinationen von Hunderten möglicher Gitterpunkte. Der Großteil der Oberfläche ist leer.
Von Quotes zur Oberfläche
| Strike | 7d | 14d | 30d | 60d |
|---|---|---|---|---|
| $85k | $120 | $340 | -- | -- |
| $90k | $450 | $820 | $1,400 | -- |
| $95k | $1,200 | -- | $2,800 | $4,200 |
| $100kATM | $3,500 | $4,800 | $6,200 | -- |
| $105k | $1,800 | $3,100 | -- | $5,800 |
| $110k | $650 | -- | $2,100 | -- |
Klicken Sie sich durch die drei Schritte oben. Beachten Sie, dass bei Raw Quotes die meisten Zellen leer sind. Bei Extract IV invertieren wir jeden Preis über Black-Scholes, um eine implizite Volatilität zu erhalten, aber dieselben Lücken bleiben bestehen. Erst nach Interpolate füllt sich jede Zelle, und die mit „SVI" markierten Zellen wurden im Markt nicht beobachtet.
Das ist die zentrale Herausforderung: spärliche, verrauschte Beobachtungen in etwas Glattes und in sich Konsistentes zu verwandeln. Gehen wir durch, wie jeder Schritt funktioniert.
Schritt 2: Preise in IV umrechnen
Jeder quotierte Optionspreis muss in eine implizite Volatilität umgerechnet werden: das , bei dem Black-Scholes dem Marktpreis entspricht.
Es gibt keine geschlossene Lösung. Wir lösen numerisch: eine Volatilität ausprobieren, den BS-Preis berechnen, prüfen, ob er passt, und den Bereich eingrenzen. Beobachten Sie, wie der Solver Schritt für Schritt konvergiert:
IV-Nullstellensuche: Beobachten Sie die Konvergenz des Solvers
Der Solver grenzt einen Bereich möglicher Volatilitäten ein, bis der BS-Preis dem Marktpreis entspricht.
| Schritt | Versuch σ | BS-Preis | vs. Ziel | Bereich |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 150.50% | $11278 | > zu hoch | [1.0%, 300.0%] |
| 2 | 75.75% | $5825 | > zu hoch | [1.0%, 150.5%] |
| 3 | 38.38% | $2995 | < zu niedrig | [1.0%, 75.8%] |
| 4 | 57.06% | $4421 | > zu hoch | [38.4%, 75.8%] |
| 5 | 47.72% | $3711 | > zu hoch | [38.4%, 57.1%] |
| 6 | 43.05% | $3354 | < zu niedrig | [38.4%, 47.7%] |
| 7 | 45.38% | $3533 | > zu hoch | [43.0%, 47.7%] |
| 8 | 44.21% | $3444 | < zu niedrig | [43.0%, 45.4%] |
| 9 | 44.80% | $3488 | < zu niedrig | [44.2%, 45.4%] |
| 10 | 45.09% | $3511 | > zu hoch | [44.8%, 45.4%] |
| 11 | 44.94% | $3499 | = Treffer | [44.8%, 45.1%] |
Die gelbe Linie ist der Marktpreis. Jede Schätzung (Punkt) wertet BS bei dieser Volatilität aus. Der schattierte Bereich zeigt, wie sich der verbleibende Suchbereich mit jedem Schritt verengt.
Ändern Sie die Eingaben, um zu sehen, wie sich der Solver bei unterschiedlichen Strikes (OTM vs. ATM), Laufzeiten und Preisen verhält. Beachten Sie, wie sich der Suchbereich (schattierte Region) mit jedem Schritt halbiert. Die meisten Produktivsysteme verwenden das Brent-Verfahren (garantierte Konvergenz) oder Jäckels rationale Approximation (Maschinengenauigkeit in einem Schritt).
Nach der Invertierung jedes quotierten Preises haben wir ein spärliches Gitter aus IV-Werten. Diese Werte sind aber nicht über alle Strikes konstant. Bevor wir die Lücken füllen können, müssen wir die Formen verstehen, die die IV-Kurve natürlicherweise annimmt.
Schritt 3: Die Formen verstehen
Würde die Welt Black-Scholes perfekt entsprechen (lognormale Renditen, konstante Volatilität), wäre die implizite Volatilität bei jedem Strike identisch. Das ist sie nicht. Die Abweichung verrät etwas Reales über den Markt, und das Verständnis dieser Formen ist entscheidend für die Wahl der richtigen Interpolation.
Warum die IV je nach Strike variiert
Volatilität ist zufällig. Black-Scholes nimmt an, dass sie konstant ist. Wenn die Volatilität selbst schwankt, werden OTM-Optionen wertvoller, als Black-Scholes vorhersagt. Eine OTM-Option profitiert asymmetrisch von Volatilitätsänderungen: Steigt die Vol, rückt die Option näher ans Geld und gewinnt rasch an Wert; fällt die Vol, ist die Option ohnehin nahezu wertlos und verliert wenig. Diese Konvexität bedeutet, dass OTM-Optionen bei unsicherer Volatilität mehr wert sind, was sich in erhöhter IV in den Flügeln zeigt. Je stärker die Vol schwankt (höhere „Vol of Vol"), desto breiter der Smile.
Spot und Vol bewegen sich gemeinsam. Der Smile allein wäre symmetrisch. Der Skew entsteht dadurch, dass in den meisten Märkten die Volatilität steigt, wenn die Preise fallen. Trader nennen das „rauf mit der Rolltreppe, runter mit der Rutsche". OTM-Puts (die sich in einem Crash auszahlen) sind mehr wert, als Black-Scholes annimmt, weil der Crash mit einem Vol-Anstieg einhergeht, der sie noch wertvoller macht. OTM-Calls sind weniger wert, weil Rallys die Vol tendenziell komprimieren. Das Ergebnis ist der Put-Smirk: Der linke Flügel handelt mit höherer IV als der rechte. Mehr zu Smile-Formen finden Sie in der Lektion des Volatilitätskurses zu Smile und Smirk.
Die vier Formen, die Sie sehen werden
Smile- und Smirk-Formen
Klicken Sie sich durch jede Form. Die 25-Delta-Risk-Reversal (unten links) misst die Neigung: positiv bedeutet, dass Puts teurer sind, negativ, dass Calls teurer sind. Der Butterfly (unten rechts) misst die Krümmung, unabhängig von der Richtung.
Skew Visualization
Ziehen Sie den Slider um zu sehen wie Skew die IV-Kurve über Strikes ändert. Put-Skew (positive RR) ist normal; Call-Skew ist selten.
Ziehen Sie den Schieberegler, um zu sehen, wie die Stärke des Skews die Kurve verändert. Eine Risk-Reversal nahe null (flach) bedeutet, dass der Markt keine ausgeprägte Richtungstendenz hat.
Wie die IV über die Zeit variiert
Die Oberfläche hat eine zweite Dimension: die Laufzeitstruktur der Volatilität.
Term Structure
Backwardation: Kurzfristige IV > langfristige. Signalisiert Event-Risiko eingepreist.
Zwischen Formen umschalten um zu sehen wie sich Term Structure ändert. Backwardation signalisiert oft bevorstehendes Event.
| Form | Bedeutung | Wann Sie sie sehen |
|---|---|---|
| Contango | IV langer Laufzeiten > IV kurzer Laufzeiten | Ruhige Märkte. Vol soll nach oben zum Mittelwert zurückkehren. |
| Flach | Ähnliche IV über alle Laufzeiten | Keine ausgeprägte Laufzeitmeinung. |
| Backwardation | IV kurzer Laufzeiten > IV langer Laufzeiten | Kurzfristiges Ereignisrisiko. Etwas Konkretes treibt die Front-Month-Vol. |
Backwardation ist das entscheidende Signal. Wenn die kurzfristige Vol über die langfristige steigt, preist der Markt einen konkreten kurzfristigen Katalysator ein. Nach dem Ereignis schnappt die Laufzeitstruktur typischerweise in Contango zurück. Unter Vol-Regime erfahren Sie, wie sich die gesamte Oberfläche über verschiedene Marktbedingungen verschiebt.
Die Laufzeitstruktur kodiert außerdem die Forward-Vol: die Erwartung des Marktes für die Volatilität zwischen zwei zukünftigen Zeitpunkten. Liegt die 30-Tage-IV bei 52 % und die 90-Tage-IV bei 48 %, beträgt die implizite Forward-Vol von Tag 30 bis Tag 90:
Deutlich niedriger als beide Spot-Vols. Der Markt sagt: „Die nächsten 30 Tage werden wild, danach beruhigt sich die Lage." Berechnen Sie die Forward-Vol mit anderen Eingaben im Equation Explorer (Tab „Forward Vol" auswählen). Wird die Forward-Varianz negativ, signalisiert das eine Kalender-Arbitrage.
Da wir nun verstehen, welche Formen die Oberfläche annehmen sollte, können wir die Lücken intelligent füllen.
Schritt 4: Die Lücken füllen
Wir haben verstreute IV-Beobachtungen und wissen, welche Formen sie bilden sollten. Die Herausforderung: jede leere Zelle füllen und dabei die Oberfläche glatt, stabil und arbitragefrei halten.
Interpolationsmethoden im Vergleich
Die weißen Punkte sind die einzigen echten Marktbeobachtungen. Alles dazwischen ist geschätzt. Klicken Sie auf jede Methode, um ihre Stärken und Schwächen zu sehen.
Zwei Regeln für die Interpolation
Nassim Taleb formuliert es mit zwei Prinzipien:
1. Zacken beseitigen. Lineare Interpolation erzeugt scharfe Ecken. Vom Markt kann man keine diskontinuierlichen Sprünge der impliziten Volatilität zwischen benachbarten Strikes erwarten. Glätten Sie die Ecken.
2. An den Markt anpassen. Verwendet der Markt eine bestimmte Interpolationskonvention, sollte Ihre Pricing-Engine ihr folgen. Ihr Risikomanagement kann die Methode verwenden, die Sie für am genauesten halten, aber Ihre Quotierungen müssen mit der Marktkonvention übereinstimmen, sonst werden Sie adversely selected.
Was schiefgehen kann
Arbitrage. Ist ein $97k-Call im Verhältnis zu $95k und $100k zu billig bewertet, kann ein Trader den $97k kaufen und eine Mischung der beiden anderen verkaufen, um risikolosen Gewinn zu erzielen (Butterfly-Arbitrage). Impliziert die Oberfläche, dass die Gesamtvarianz mit der Laufzeit abnimmt, besteht eine Kalender-Arbitrage.
Unsinnige Greeks. Konkave Dellen im Smile erzeugen negatives Gamma für Long-Optionen (unmöglich) oder negative lokale Varianz (macht die Bewertung exotischer Optionen kaputt).
Instabile Preise. Verursacht die Bewegung einer einzelnen Marktquotierung große Änderungen bei weit entfernten interpolierten Werten, ist die Oberfläche verrauscht. Das Hedging wird dann von Modellartefakten statt von Marktbewegungen getrieben.
Methoden im Überblick
| Methode | In einem Satz | Geeignet für |
|---|---|---|
| Linear | Gerade Linien zwischen Punkten | Nur schnelle Schätzungen |
| Kubischer Spline | Glatte Polynomkurven | Visualisierung (nicht produktiv) |
| SVI | 5-Parameter-Modell pro Verfall | Krypto- und Aktienoptionen |
| ORC Wing | Trader-freundliche SVI-Reparametrisierung | Manuelles Bearbeiten des Smiles |
| SABR | 4-Parameter-Modell mit stochastischer Vol | Zins-Swaptions |
| Local Vol | Momentane Vol über Dupire ableiten | Bewertung exotischer Optionen |
Die meisten Vol-Desks verwenden SVI, weil es einfach (5 Parameter), schnell (Fit in Millisekunden) und so beschränkbar ist, dass Arbitrage ausgeschlossen wird. Hypercall bezieht die Oberfläche jedes Basiswerts aus dessen konfigurierter Volatilitätsquelle. Einen ausführlichen Vergleich aller Methoden finden Sie unter Interpolationsmethoden.
Schritt 5: Auf Konsistenz prüfen
Wird jeder Verfall unabhängig gefittet, kann eine in sich inkonsistente Oberfläche entstehen. Bevor die Oberfläche veröffentlicht wird, müssen drei Bedingungen erfüllt sein.
Kalender-Arbitrage
Die Gesamtvarianz muss bei jedem Strike mit der Laufzeit zunehmen. Ist das nicht der Fall, könnten Sie einen kurzlaufenden Straddle verkaufen und einen länger laufenden beim selben Strike kaufen und dabei mehr Prämie einnehmen, als Sie zahlen. Geschenktes Geld.
Kalender-Arbitrage-Prüfung
Gesamtvarianz (σ² × T) muss an jedem Strike mit der Laufzeit steigen.
Wechseln Sie zwischen den Zuständen. Fällt die 30d-Gesamtvarianz unter 7d, wäre der Verkauf eines 7d-Straddles und der Kauf eines 30d-Straddles ein risikoloser Gewinn.
Wechseln Sie zwischen den Zuständen: Consistent (jede Kurve liegt über der vorherigen), Violation (die 30d-Kurve fällt nahe ATM unter die 7d-Kurve) und After Fix (Parameter so angepasst, dass die Bedingung erfüllt ist).
Butterfly-Arbitrage
Call-Preise müssen im Strike konvex sein. Hat der Smile eine konkave Delle (ein lokales Tal), erzeugt ein auf diese Delle zentrierter Butterfly-Spread risikolosen Gewinn.
Monotonie von Call-Spreads
Call-Preise müssen mit dem Strike fallen, und die Rate des Rückgangs muss zwischen 0 und 1 bleiben. Ein höherer Strike bedeutet eine höhere Hürde, daher muss der Call immer weniger wert sein.
Das Ergebnis: eine vollständige Oberfläche
Nach allen fünf Schritten (Preisinvertierung, Verständnis der Formen, Füllen der Lücken, Durchsetzung der Konsistenz) erhalten wir eine glatte, kontinuierliche Volatilitätsoberfläche. Hier ist sie:
Volatilitätsoberfläche
Ruhige Märkte. Schwacher Put-Skew, leichtes Contango.
| Strike | 7d | 14d | 30d | 60d | 90d |
|---|---|---|---|---|---|
| $80k | 51% | 52% | 53% | 55% | 57% |
| $85k | 50% | 51% | 52% | 54% | 56% |
| $90k | 50% | 50% | 51% | 54% | 56% |
| $95k | 49% | 49% | 51% | 53% | 55% |
| $100k(ATM) | 48% | 49% | 50% | 52% | 55% |
| $105k | 48% | 49% | 50% | 53% | 55% |
| $110k | 49% | 49% | 50% | 53% | 55% |
| $115k | 49% | 49% | 51% | 53% | 55% |
| $120k | 49% | 50% | 51% | 53% | 55% |
Klicken Sie Verfall-Header um eine Skew-Scheibe zu isolieren. Klicken Sie Strikes um Term Structure zu sehen.
In der 3D-Ansicht ziehen Sie zum Drehen und scrollen zum Zoomen. Schalten Sie zwischen Szenarien um, um zu sehen, wie unterschiedliche Marktbedingungen die Oberfläche umformen. In der 2D-Ansicht klicken Sie auf eine Verfallsüberschrift, um eine Skew-Scheibe zu isolieren, oder auf einen Strike, um dessen Laufzeitstruktur zu sehen.
Die vier Szenarien zeigen, wie dramatisch sich die Oberfläche verändert:
- Normal: Leichter Put-Skew, schwaches Contango. Der Standardzustand.
- Vor einem Ereignis: Die kurzfristige Vol explodiert. Beide Flügel steigen, weil die Richtung ungewiss ist.
- Krise: Alles erhöht. Extremer Put-Skew. Steile Backwardation.
- Euphorie: Ein Call-Skew entsteht. OTM-Calls werden nachgefragt. Selten.
Wie sich die Oberfläche bewegt
Die Oberfläche ist kein statisches Objekt. Sie formt sich ständig um, und zu verstehen, wie sie sich bewegt, ist für das Hedging wichtig.
Parallelverschiebung: Die gesamte Oberfläche steigt oder fällt. Die ATM-Vol steigt um 3 Punkte, und ungefähr jede Zelle bewegt sich um einen ähnlichen Betrag. Das ist die größte P&L-Quelle für Vega-exponierte Positionen.
Rotation: Das vordere Ende bewegt sich in die eine Richtung, das hintere in die andere. Deshalb können Sie die Vegas einer 1-Monats-Option und einer 1-Jahres-Option nicht einfach addieren. Eine Vega-Position von $100k in 7-Tage-Optionen ist weitaus stärker exponiert als $100k Vega in 6-Monats-Optionen, weil die kurzfristige Vol reaktiver ist.
Formänderung: Der Smile wird steiler, die Flügel werden breiter oder der Skew neigt sich stärker. Eine Position, die bei Niveau und Neigung neutral ist, kann bei einer Formänderung dennoch Geld verlieren.
Lokale Verformung: Ein einzelner Strike oder ein schmaler Bereich bewegt sich unabhängig. Das passiert um Strikes mit hohem Open Interest (Pin-Risiko), um Barriere-Levels oder bei ungewöhnlichem Flow in einem bestimmten Verfall.
Die Oberfläche in verschiedenen Marktregimen
Ruhige Bedingungen, keine großen Events. Moderater Put-Skew, leichtes Contango.
| Strike | 7 DTE | 30 DTE | 90 DTE |
|---|---|---|---|
| 85k (OTM Put) | 58% | 55% | 52% |
| 90k | 54% | 52% | 50% |
| 95k | 51% | 50% | 48% |
| 100k (ATM) | 48% | 48% | 47% |
| 105k | 46% | 47% | 46% |
| 110k | 45% | 46% | 46% |
| 115k (OTM Call) | 44% | 45% | 45% |
Was zu beachten ist:
- Moderater Put-Skew (~14 Vol-Punkte von Put zu Call)
- Leichtes Contango (ferner Term etwas niedriger)
- ATM Vol um 48% - typisch für ruhiges BTC
Beachten Sie das Muster: Krisenoberflächen haben das 2- bis 3-Fache der IV ruhiger Märkte. Normalerweise dominieren Puts den Skew, doch Euphorie kann ihn umkehren. Ruhige Märkte erzeugen Contango, Ereignisse erzeugen Backwardation. Oberflächen vor Ereignissen haben auf beiden Seiten dicke Flügel, weil die Richtung ungewiss ist.
Bauen Sie Ihre eigene
Passen Sie IV-Werte an, prüfen Sie auf Arbitrage und sehen Sie das Ergebnis in Echtzeit.
Eigenen Skew erstellen
Ruhiger Markt, moderater Put-Skew
| Strike | Delta | IV(click to edit) |
|---|---|---|
| $80k | 10Δ Put | 67% |
| $85k | 15Δ Put | 62% |
| $90k | 25Δ Put | 57% |
| $95k | 40Δ Put | 53% |
| $100k | ATM | 50% |
| $105k | 40Δ Call | 51% |
| $110k | 25Δ Call | 53% |
| $115k | 15Δ Call | 56% |
| $120k | 10Δ Call | 59% |
Click IV values in the table to edit directly. Invalid configurations will show arbitrage warnings.
Equation Explorer
Setzen Sie Werte ein und berechnen Sie die zentralen Größen, die auf dieser Seite verwendet werden: Gesamtvarianz, Forward-Vol, Log-Moneyness und BS-Bewertung.
Gleichungs-Explorer
Praxiswissen
Einige Punkte, die Sie bei der Arbeit mit Volatilitätsoberflächen beachten sollten:
Die Oberfläche ist ein Modell, nicht die Realität. Nur ein Bruchteil der Gitterpunkte stammt aus echten Trades. Wenn Sie einen illiquiden Strike handeln, prüfen Sie den Bid-Ask-Spread. Breiter Spread = Modellausgabe. Enger Spread = echte Liquidität.
Quotierungen in den Flügeln sind unsicher. Vol-Niveaus weit aus dem Geld hängen stark vom Fit-Modell ab. Zwei Plattformen mit unterschiedlichen Methoden zeigen für denselben Basiswert unterschiedliche Flügel-IVs. ATM-Greeks sind am verlässlichsten.
Vergleichen Sie Vegas nicht über Laufzeiten hinweg. Eine Vega-Position von $100k in 7-Tage-Optionen ist drastisch sensitiver als $100k Vega in 6-Monats-Optionen. Gewichten Sie Ihre Vegas (die Quadratwurzel der Zeit ist ein Anfang, empirische Verhältnisse sind besser), bevor Sie sie verrechnen.
Das Histogramm lügt über den Skew. Sie können den Skew nicht aus einem Histogramm vergangener Renditen ableiten. Histogramme verbergen den Pfad: die Tatsache, dass die Vol in Ausverkäufen steigt und in Rallys komprimiert. Beim Skew geht es um die gemeinsame Bewegung von Spot und Vol entlang des Pfads, nicht um die Form der Endverteilung.
Black-Scholes ist falsch, aber nützlich. Trader haben sich entschieden, den Vol-Parameter eines falschen Modells zu verbiegen (und so die Oberfläche zu erzeugen), statt ein „korrektes" Modell mit mehr Parametern zu übernehmen. Jeder zusätzliche Parameter muss geschätzt werden, und Schätzfehler potenzieren sich. Die Oberfläche ist die pragmatische Antwort des Marktes.
Modelle im Detail: SVI | ORC Wing | SABR | Lokale Volatilität | Alle Methoden im Vergleich
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