Merton-Jump-Diffusion
Black-Scholes geht davon aus, dass sich Preise gleichmäßig bewegen -- keine Lücken, keine plötzlichen Crashs. Merton (1976) ergänzt Sprünge. Der Preis kann plötzlich nach oben oder unten springen, statt nur zu diffundieren. Der Markt eröffnet mit einer Lücke über Nacht. Ein Stablecoin verliert seine Bindung innerhalb eines einzigen Blocks.
Fat Tails und steile Smiles bei kurzen Laufzeiten folgen direkt daraus. Mehr Sprungrisiko = steilere Flügel auf der Volatilitätsoberfläche.
Warum Sprünge für Optionen wichtig sind
Ein OTM-Put, der in 2 Tagen verfällt, ist unter Black-Scholes nahezu wertlos -- die Zeit reicht nicht aus, damit die Diffusion den Strike erreicht. Wenn der Markt aber über Nacht um 15 % springen kann, hat dieser Put echten Wert. Sprungmodelle bilden genau das ab. Deshalb sind Smiles bei kurzen Laufzeiten so steil.
Die Parameter erkunden
Beginnen Sie mit "No jumps", um den flachen Black-Scholes-Verlauf zu sehen. Wechseln Sie dann zu "Crash risk" und beobachten Sie, wie der Put-Flügel steiler wird.
Merton-Jump-Diffusion-Smile-Explorer
Beginnen Sie mit „Keine Sprünge“, um das flache Black-Scholes zu sehen, und wechseln Sie dann zu „Crash-Risiko“, um zu sehen, wie Sprünge den Skew erzeugen.
Was jeder Parameter bewirkt
- Lambda (Sprungintensität): Wie viele Sprünge Sie pro Jahr erwarten. Null = Black-Scholes. Eins = ungefähr ein Ereignis in Crash-Größe pro Jahr. Im Kryptobereich kann dieser Wert bei 2-3 liegen.
- Mittlere Sprunggröße: Die durchschnittliche Richtung eines Sprungs. Negativ = Crashs sind häufiger als Spitzen nach oben. Genau das erzeugt den Put-Skew.
- Sprungvolatilität: Wie stark jeder einzelne Sprung variiert. Selbst wenn der mittlere Sprung null ist, erzeugt eine hohe Sprungvolatilität Fat Tails (beide Flügel steigen).
- Basisvolatilität (Sigma): Die normale Diffusions-Volatilität zwischen den Sprüngen. Sie bestimmt das Gesamtniveau.
Wie Sprünge den Smile formen
Der Sprung-Smile vs. der Smile stochastischer Volatilität
Merton und Heston (stochastische Volatilität) erzeugen beide Smiles, aber auf unterschiedliche Weise. Der Unterschied ist für den Handel relevant.
Kurze vs. lange Laufzeiten
Mertons Modell ist am nützlichsten für Optionen mit kurzer Laufzeit, bei denen das Sprungrisiko dominiert. Bei längeren Laufzeiten greift der zentrale Grenzwertsatz -- viele kleine Sprünge sehen wie Diffusion aus, und der allein durch Sprünge erzeugte Smile verblasst. Am langen Ende der Laufzeitstruktur übernimmt die stochastische Volatilität.
Merton im Kryptobereich
Im Kryptobereich ist Merton wohl am relevantesten. Die Märkte handeln rund um die Uhr, doch Liquiditätslücken sind häufig -- Börsenausfälle, Oracle-Fehler, plötzliche Liquidationskaskaden. Das sind Sprünge. Das ATM-Niveau ändert sich möglicherweise kaum, aber die Flügel werden dramatisch steiler.
Das einfachste Modell, das Gap-Risiko bepreist
Merton erklärt, warum OTM-Optionen mit kurzer Laufzeit teurer sind, als Black-Scholes vorhersagt. Wenn Sie Weeklies oder Krypto-Optionen mit kurzer Laufzeit handeln, ist das Sprungrisiko das, was Sie tatsächlich bepreisen. Delta-Hedging unter Merton unterscheidet sich von Black-Scholes, weil die Sprungkomponente nicht absicherbar ist -- nur der Diffusionsanteil lässt sich replizieren. Das Vega-Exposure ist strukturell höher.
Gleichungs-Explorer
Rechnen Sie zwischen impliziter Volatilität, Gesamtvarianz, Log-Moneyness und Optionspreisen um.
Gleichungs-Explorer
💡 Tipp: Versuchen Sie jede Frage selbst zu beantworten bevor Sie die Antwort aufdecken.
Mathematische Intuition aufbauen
Merton-Sprünge von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine Vorkenntnisse nötigDiese Lektion beginnt mit der einfachen Frage „Was, wenn der Preis springen kann?“ und baut dann die vollständige Intuition für Sprungintensität, Sprunggröße und dafür auf, warum die Flügel bei kurzen Laufzeiten teuer werden.
Siehe auch:
- Black-Scholes -- Das Basismodell ohne Sprünge
- Heston-Modell -- Stochastische Volatilität (der andere Weg zu einem Smile)
- Variance Gamma -- Ein reines Sprungmodell ganz ohne Diffusion
- Skew -- Warum der Smile geneigt ist