Quintisches Polynommodell

SVI ist der Branchenstandard zum Fitten eines Volatilitäts-Smiles -- 5 Parameter, jeweils ein Slice. SVI legt jedoch eine bestimmte Form fest: Der Smile ist immer eine verschobene, skalierte Hyperbel. Wenn der Markt etwas zeigt, das SVI nicht abbilden kann, verschlechtert sich der Fit. Das quintische Polynommodell (Gauthier & Possamai, 2023) verzichtet vollständig auf diese Formannahme. Es fittet die gesamte implizite Varianz als Polynom in Log-Moneyness -- ein Polynom 4. oder 5. Grades mit 5 oder 6 Koeffizienten. Es kann jede Smile-Form fitten, die der Markt hervorbringt, auch solche, die SVI strukturell verfehlt.

💡

SVI ohne Formzwang

Gleiche Parameterzahl wie SVI. Gleiches Fitting Slice für Slice. Doch wo SVI eine hyperbolische Form erzwingt, lässt das Polynom die Daten entscheiden. Der Kompromiss: Sie verlieren das eingebaute Flügelverhalten von SVI und benötigen explizite Bedingungen für Arbitragefreiheit. Skew und Krümmung sind unabhängige Stellschrauben.

In Aktion sehen

Ziehen Sie die Schieberegler, um zu sehen, wie jeder Koeffizient den Smile formt. Probieren Sie die Voreinstellung „Double bump“ für eine Form, die SVI nicht erzeugen kann.

Smile-Explorer: quintisches Polynom

Parabolische Form, typisch für SVI. Symmetrische Flügel mit moderatem Skew.

ATM-Niveau0.045

Legt das allgemeine Vol-Niveau fest

Skew-0.015

Neigt den Smile nach links (Put-Skew) oder nach rechts

Krümmung0.080

Wie weit sich der Smile öffnet

Asymmetrie-0.010

Macht einen Flügel steiler als den anderen

Flügelsteilheit0.020

Steuert, wie schnell die Flügel ansteigen. Hohe Werte = steile Tails.

Probieren Sie „Doppelhöcker“ und aktivieren Sie „SVI-Referenz anzeigen“, um eine Form zu sehen, die das Polynom erzeugen kann, SVI strukturell aber nicht.

Funktionsweise

1. Gesamtvarianz als Polynom

Für einen gegebenen Verfall $T$ wird die gesamte implizite Varianz $w(k) = \sigma^2(k) \cdot T$ als Polynom in Log-Moneyness $k = \log(K/F)$ modelliert:

$$w(k) = c_0 + c_1 k + c_2 k^2 + c_3 k^3 + c_4 k^4$$

Jeder Koeffizient hat eine direkte Interpretation für Trader:

Koeffizient

Trader-Bezeichnung

Was er steuert

c0

ATM-Niveau

Gesamtes Vol-Niveau. Höheres c0 = höhere ATM-implizite Vol.

c1

Skew

Neigt den Smile. Negativ = Put-Skew (linker Flügel höher).

c2

Krümmung

Wie weit sich der Smile öffnet. Steuert, wie teuer Butterflies sind.

c3

Asymmetrie

Macht einen Flügel steiler als den anderen. Effekt ungerader Potenz.

c4

Flügelsteilheit

Steuert, wie schnell die Flügel bei extremen Strikes ansteigen.

2. Arbitrage-Bedingungen sind einfache Schranken

Damit das Polynom arbitragefrei ist (positive Varianz, konvexe Call-Preise), reduzieren sich die Bedingungen auf Ungleichungen für die Koeffizienten. Komplexe numerische Prüfungen sind nicht nötig -- es genügt, die Koeffizienten während des Fittings zu beschränken.

3. Das Fitting ist schnell

Ein Polynom an Marktdaten zu fitten ist ein Kleinste-Quadrate-Problem, lösbar in Mikrosekunden. Der Fit wird zu ATM-Strikes hin gewichtet, wo die Liquidität am höchsten ist. Fügen Sie die Koeffizientenschranken als lineare Nebenbedingungen hinzu, und Sie erhalten ein kleines QP (quadratisches Programm) -- schneller und robuster als die nichtlineare Optimierung von SVI.

ℹ️

Polynome höheren Grades oszillieren in den Flügeln

Polynome 6. oder 7. Grades oszillieren in den Flügeln (Runge-Phänomen). Grad 4-5 bietet genug Flexibilität, um reale Smile-Formen abzubilden, ohne Artefakte jenseits des letzten liquiden Strikes zu erzeugen. Für das Verhalten in den tiefen OTM-Flügeln benötigen Sie explizite Extrapolationsregeln.

Quintisch vs. SVI

Merkmal

SVI

Quintisches Polynom

Parameter pro Slice

5

5 (4. Grad) oder 6 (5. Grad)

Formannahme

Hyperbolisch (fest eingebaut)

Keine

Fit-Qualität

Gut für typische Smiles

Kann jede Form fitten

Flügelextrapolation

Linear (beschränkt)

Polynomiell (divergiert)

Arbitrage-Bedingungen

Komplex, nichtlinear

Einfache Koeffizientenschranken

Fitting-Methode

Nichtlineare Optimierung

Kleinste Quadrate / QP

Verbreitung in der Branche

Jahrzehntelang im Einsatz

Neu (2023)

SSVI-ähnliche Oberflächenversion

Ja (SSVI)

Forschungsstadium

Relevanz für Krypto

Krypto-Smiles sind oft auf eine Weise asymmetrisch, mit der SVI Schwierigkeiten hat -- scharfer Put-Skew durch Liquidationskaskaden, ungewöhnliche Ausbuchtungen auf der Call-Seite durch Airdrop-Optionalität oder „geknickte“ Smiles um beliebte Ausübungspreise mit konzentriertem Open Interest. Das Polynommodell fittet diese Formen, ohne eine hyperbolische Struktur zu erzwingen. Delta und Vega, berechnet aus dem polynomiellen Smile, sind konstruktionsbedingt glatt. Die wesentliche Einschränkung: Krypto-Optionen haben wenige Strikes, und Polynome können sich zwischen den Datenpunkten unerwartet verhalten, wenn sie nicht sorgfältig beschränkt werden.

💡

Die Einfachheit von SVI ohne dessen Formvorgabe

Fittet Smiles, die SVI strukturell nicht erzeugen kann. Der Preis: Sie verlieren die gutmütige Flügelextrapolation von SVI und müssen Arbitrage-Bedingungen explizit behandeln. Oberflächen über mehrere Verfallstermine benötigen separate Bedingungen für die Laufzeitstruktur. Am besten geeignet für Märkte, in denen der Smile ungewöhnlich ist oder die Fit-Residuen von SVI zu groß sind.

Gleichungs-Explorer

Rechnen Sie zwischen impliziter Vol, Gesamtvarianz, Log-Moneyness und Optionspreisen um.

Gleichungs-Explorer

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Implizite Vol (σ)

%

Die implizite Volatilität

Zeit bis zum Verfall

Tage

Kalendertage bis zum Verfall

Gesamtvarianz (w)

0.022225

Annualisierte Varianz (σ²)

0.2704

Zurückgerechnete IV

52.00%

Die Gesamtvarianz ist das, was SVI und andere Modelle fitten. Sie skaliert mit der Zeit: 50% Vol über 30 Tage hat weniger Gesamtvarianz als 50% Vol über 90 Tage.

Testen Sie Ihr Verständnis bevor Sie fortfahren.

Q: Warum kann das quintische Polynom Smile-Formen fitten, die SVI nicht abbilden kann?

Q: Was ist der Hauptnachteil eines Polynoms bei der Flügelextrapolation?

Q: Sie fitten einen Verfall in 3 Tagen auf einen Krypto-Basiswert mit nur 6 liquiden Strikes. Würden Sie SVI oder das Polynom bevorzugen?

💡 Tipp: Versuchen Sie jede Frage selbst zu beantworten bevor Sie die Antwort aufdecken.

Mathematische Intuition aufbauen

Quintisches Modell von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine Vorkenntnisse nötig

Diese Lektion erklärt, warum ein Polynom-Fit zusätzliche Flexibilität für den Smile bietet, wie das Gesamtvarianz-Polynom funktioniert und warum strengere Arbitrage-Prüfungen wichtig werden, sobald sich die Form freier bewegen darf.

---

Siehe auch:

• SVI-Parametrisierung -- Das parametrische Standardmodell der Branche, das hier erweitert wird
• SSVI (Surface SVI) -- Kalenderkonsistente Oberflächenerweiterung von SVI
• SANOS (nichtparametrische Oberflächen) -- Vollständig nichtparametrischer Ansatz mit LP-Fitting
• Neural SDE / Deep Hedging -- Datengetriebener Ansatz, der die Dynamik End-to-End lernt
• Interpolationsmethoden -- Alle Methoden im Vergleich