SABR-Modell

Info

Diese Seite behandelt das SABR-Modell im Detail. Wie es sich in die Pipeline der Volatilitätsoberfläche einfügt, erfahren Sie unter Wie Oberflächen aufgebaut werden. Einen Vergleich mit anderen Methoden finden Sie unter Interpolationsmethoden.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) ist ein stochastisches Volatilitätsmodell, das von Hagan, Kumar, Lesniewski und Woodward (2002) eingeführt wurde. Anders als SVI, das die Form des Smiles beschreibt, beschreibt SABR die Dynamik, die ihn erzeugt. Der Smile ergibt sich im Modell als Folge davon, wie sich die Volatilität zusammen mit dem Basiswert entwickelt.

SABR ist das dominierende Modell für Zins-Swaptions sowie Caps und Floors. Im Kryptobereich ist es weniger verbreitet, dort wird SVI wegen der einfacheren Anpassung und des besseren Verhaltens in den Flügeln bevorzugt.

Die Parameter erkunden

Passen Sie jeden Parameter an, um zu sehen, wie sich der SABR-Smile verändert. Aktivieren Sie „Show backbone“, um die reine CEV-Kurve zu sehen (wie der Smile ohne Vol-of-Vol aussieht).

SABR-Smile-Explorer

Typischer Smile von Zins-Swaptions. Moderater Skew, leichte Krümmung.

α (Vol-Niveau)0.30

Aktuelle Momentanvolatilität

β (Backbone)0.50

0 = normal, 0.5 = Wurzel, 1 = lognormal

ρ (Spot-Vol-Korr.)-0.30

Negativ = Put-Skew (üblich)

ν (Vol of Vol)0.40

Steuert die Smile-Breite. 0 = kein Smile.

Aktivieren Sie „Backbone anzeigen“, um die reine CEV-Kurve (ohne Vol-of-Vol) zu sehen. Der Abstand zwischen Backbone und vollem Smile ist der Beitrag von ν.

Was die einzelnen Parameter bewirken

• $\alpha$ (Volatilitätsniveau): Die aktuelle momentane Volatilität. Höheres $\alpha$ = insgesamt höhere IV. Dies ist der am häufigsten neu kalibrierte Parameter.
• $\beta$ (Backbone): Steuert, wie die Volatilität mit dem Preis des Basiswerts skaliert. $\beta = 1$ bedeutet, dass die prozentuale Volatilität konstant ist (lognormal). $\beta = 0$ bedeutet, dass die Volatilität in Dollar konstant ist (normal). $\beta = 0.5$ liegt dazwischen (Quadratwurzel). In der Praxis wird $\beta$ meist auf eine Marktkonvention festgelegt und nicht angepasst.
• $\rho$ (Spot-Vol-Korrelation): Steuert den Skew. Negatives $\rho$ bedeutet, dass die Volatilität steigt, wenn der Basiswert fällt (das übliche Verhalten bei Aktien und Krypto). Positives $\rho$ bedeutet das Gegenteil (selten).
• $\nu$ (Vol-of-Vol): Steuert die Breite des Smiles. Bei $\nu = 0$ gibt es keinen Smile, nur den Skew, den $\beta$ und $\rho$ erzeugen (das „Backbone“). Mit steigendem $\nu$ heben sich beide Flügel an.

Das Backbone

Klicken Sie im obigen Explorer auf „Show backbone“. Die gestrichelte Linie ist der Smile mit $\nu = 0$: keine Zufälligkeit in der Volatilität, nur das deterministische CEV-Modell. Der Abstand zwischen Backbone und vollständigem Smile ist der Beitrag von $\nu$ (Vol-of-Vol). Diese Zerlegung ist einzigartig für SABR und gibt Tradern eine klare Intuition dafür, woher die Krümmung des Smiles kommt.

Kalibrierung

Der Standardansatz

1. $\beta$ festlegen gemäß einer Marktkonvention:

   • Zinsen: $\beta = 0.5$ (üblich) oder $\beta = 0$ (normales SABR)
   • Aktien: $\beta = 1$ (lognormal)
   • Mit festem $\beta$ hat das Modell 3 freie Parameter.

2. $\alpha$ an die ATM-Volatilität binden. Zwischen $\alpha$ und der impliziten ATM-Volatilität besteht eine nahezu geschlossene Beziehung. Aus der beobachteten ATM-IV wird $\alpha$ bestimmt. Damit reduziert sich die Anpassung auf 2 freie Parameter.

3. $\rho$ und $\nu$ anpassen, indem der gewichtete Fehler zwischen dem SABR-Smile und den beobachteten IVs über die Strikes minimiert wird. Mit nur 2 Parametern ist das schnell und robust.

Gewichtung

• ATM erhält das höchste Gewicht (am liquidesten, am zuverlässigsten)
• Optionen mit engen Bid/Ask-Spreads erhalten mehr Gewicht
• Weit aus dem Geld (OTM) liegende Optionen erhalten weniger Gewicht (die Hagan-Approximation ist dort weniger genau)

Stärken

Dynamische Interpretation. SABR sagt Ihnen, wie sich der Smile bewegen sollte, wenn sich der Basiswert bewegt. Standardmäßig erzeugt SABR ein Sticky-Delta-ähnliches Verhalten: Fällt der Spot, steigt die Volatilität (bei $\rho < 0$), und der Smile verschiebt sich mit dem Spot. Das ist wertvoll für Produkte, bei denen die Smile-Dynamik für die Absicherung relevant ist.

Zerlegung in Backbone und Smile. Die Trennung von Backbone (durch $\beta$ getriebener Skew) und Smile (durch $\nu$ getriebene Krümmung) gibt Tradern ein klares mentales Modell.

Sparsam parametrisiert. Mit festem $\beta$ und an ATM gebundenem $\alpha$ passen Sie nur 2 Parameter an. Das ist schnell und lässt wenig Raum für Overfitting.

Grenzen

Probleme in den Flügeln. Die Hagan-Approximation kann in den äußeren Flügeln negative implizite Volatilität oder negative Wahrscheinlichkeitsdichte erzeugen. Das ist ein bekanntes Problem. Produktivsysteme verwenden korrigierte Formulierungen (arbitragefreies SABR oder einen PDE-Löser für extreme Strikes).

Lange Laufzeiten. Die asymptotische Entwicklung verschlechtert sich bei Laufzeiten über 10 bis 15 Jahre. Verwenden Sie stattdessen ein numerisches Verfahren.

Statische Anpassung statt dynamischer Kalibrierung. Trotz der dynamischen Interpretation von SABR wird in der Praxis jeder Verfall unabhängig angepasst (genau wie bei SVI). Die dynamische Geschichte ist eher ein Anspruch als etwas, das operativ durchgesetzt wird.

SABR vs. SVI

	SABR	SVI
Was modelliert wird	Die Dynamik, die den Smile erzeugt	Die Form des Smiles
Parameter	3 (mit festem $\beta$)	5
Arbitrage	Hagan-Formel kann in den Flügeln verletzen	Saubere Nebenbedingungen verfügbar
Verhalten in den Flügeln	Kann bei extremen Strikes versagen	Beschränkt, lineare Asymptoten
Geschwindigkeit	Formelauswertung	Optimierung
Am besten für	Zinsen, FX	Aktien, Krypto

Der zentrale Unterschied: SABR beantwortet die Frage „Wie bewegt sich der Smile?“, während SVI die Frage „Wie sieht der Smile aus?“ beantwortet. Für die einfache Bewertung europäischer Optionen und das Risikomanagement gewinnen meist die einfachere Anpassung und das bessere Verhalten von SVI in den Flügeln. Für Produkte, bei denen die Smile-Dynamik zählt (Bermudan Swaptions, Barrier-Optionen unter Sticky-Delta), ist die dynamische Interpretation von SABR wertvoll.

Verbindung zu SVI

SABR kann SVI-Anpassungen initialisieren. Passen Sie zuerst SABR an (schnelle Optimierung mit 2 Parametern), werten Sie den SABR-Smile an vielen Strikes aus und passen Sie dann SVI an diese Punkte an. Das gibt SVI einen guten Startpunkt, wenn Marktdaten spärlich sind.

Mathematische Intuition aufbauen

SABR von Grund auf lernenInteraktive Lektion · 4 Parameter, 5 Abschnitte

Die obige interaktive Lektion führt nacheinander durch die vier SABR-Parameter: wie Alpha das Volatilitätsniveau festlegt, wie Rho den Skew neigt, wie Nu die Flügel anhebt und wie Beta die Backbone-Dynamik steuert. Jeder Abschnitt hat einen eigenen Schieberegler, sodass Sie die Wirkung eines einzelnen Parameters isolieren können.

Open-Source-Implementierungen

Repo	Warum ein Blick lohnt
QuantLib	SABR-Hagan-Approximation und Kalibrierung
pysabr	Reine Python-Implementierung von SABR, gut lesbar
OpenGamma Strata	SABR mit Smile-Interpolation im produktiven Risikomanagement

---

Siehe auch:

• SVI-Parametrisierung - Der Smile pro Verfall, den Hypercall für seine Oberflächen von Aktienoptionen anpasst
• Lokale Volatilität - Dupires Oberfläche der momentanen Volatilität
• Interpolationsmethoden - Alle Methoden im Vergleich
• Wie Oberflächen aufgebaut werden - Die vollständige Pipeline