Einfache und grundlegende Modelle
Die Bausteine. Black-Scholes: konstante Volatilität, kein Smile. CEV fügt einen Parameter hinzu, um Skew zu erzeugen. Displaced Diffusion verschiebt die Preisachse, um negative Zinsen abzubilden. Zu einfach für das Smile-Fitting in der Produktion, aber jedes komplexe Modell erweitert eines dieser Modelle.
Jedes komplexe Modell erweitert ein einfaches
SABR benötigt CEV (sein Rückgrat). Heston benötigt Black-Scholes (seinen Spezialfall). Beginnen Sie hier.
Auf einen Blick
Was sie gemeinsam haben
Alle vier Modelle beschreiben einen einzigen Diffusionsprozess für den Preis des Basiswerts. Keines von ihnen hat stochastische Volatilität, Sprünge oder eine zweite Zufallsquelle. Sie unterscheiden sich darin, welche Dynamik sie für den Preis annehmen.
Wie sie zueinander in Beziehung stehen
Black-Scholes ist die Basis: konstante Volatilität, lognormaler Preis, kein Smile. CEV verallgemeinert es, indem die Volatilität mit dem Preisniveau skaliert (sigma mal S hoch beta minus eins), was Skew erzeugt. Das ist das Rückgrat von SABR: Wenn SABR seine lokale Volatilitätskomponente festlegt, verwendet es CEV. Displaced Diffusion geht einen anderen Weg: Es verschiebt die Preisachse (modelliert S + d statt S), was ebenfalls Skew erzeugt und es ermöglicht, negative Zinsen oder Preise abzubilden. Bei kleinen Verschiebungen verhält es sich ähnlich wie CEV. Bachelier ist die additive Version von Black-Scholes: Preise folgen einer Normalverteilung statt einer Lognormalverteilung. Es erzeugt einen flachen Smile (in Normal-Vol-Begriffen) und lässt negative Preise auf natürliche Weise zu. Deshalb wurde es zum Standard für Zinsoptionen, als die Zinsen negativ wurden.
Modelle in diesem Abschnitt:
- Black-Scholes - Die Grundlage
- CEV-Modell - Volatilität skaliert mit dem Preis
- Displaced Diffusion - Verschobene Lognormalverteilung
- Bachelier - Normalverteilte Dynamik, additive Volatilität