SSVI (Surface SVI)

SSVI von Grund auf lernenInteraktive Lektion · setzt SVI-Grundkenntnisse voraus

Info

SSVI ist eine Erweiterung von SVI auf Oberflächenebene. Beginnen Sie dort, wenn Sie mit dem Slice-Modell nicht vertraut sind. Die vollständige Pipeline zur Oberflächenkonstruktion finden Sie unter Wie Oberflächen aufgebaut werden.

SSVI (Surface SVI) erweitert das SVI-Smile-Modell von einzelnen Verfalls-Slices auf die gesamte Volatilitätsoberfläche. Der entscheidende Vorteil: Kalenderarbitragefreiheit ist konstruktionsbedingt garantiert. Sie müssen nie Slices unabhängig voneinander fitten und anschließend Inkonsistenzen zwischen den Verfallsterminen nachträglich beheben.

Das Problem, das SSVI löst

Bei SVI pro Slice fitten Sie jeden Verfallstermin unabhängig. Jeder Slice mag in sich konsistent sein (keine Butterfly-Arbitrage), aber die Slices können sich gegenseitig widersprechen. Konkret kann die Gesamtvarianz bei einem bestimmten Strike von einem Verfallstermin zum nächsten sinken, was eine Kalenderarbitrage erzeugt.

Dies nachträglich zu beheben (Post-hoc-Anpassung) ist fragil: Sie verschieben einen Slice leicht, was den Fit verändert, was wiederum an anderer Stelle eine neue Verletzung erzeugen kann. SSVI vermeidet dies vollständig, indem die Oberfläche gemeinsam modelliert wird.

Funktionsweise

SSVI beschreibt die Gesamtvarianz als Funktion sowohl der Log-Moneyness $k$ als auch der ATM-Gesamtvarianz $\theta_t$:

Die Kernidee: Statt 5 Parameter pro Slice zu fitten (25 Parameter für 5 Verfallstermine), parametrisiert SSVI die gesamte Oberfläche mit wenigen globalen Parametern plus der ATM-Gesamtvarianzkurve $\theta_t$.

Die Rolle der einzelnen Bestandteile

$\theta_t$ (ATM-Gesamtvarianzkurve): Dies ist das Rückgrat der Laufzeitstruktur. Sie muss in $t$ steigend sein (eine grundlegende Anforderung der Arbitragefreiheit). Sie lesen sie direkt an den ATM-Optionspreisen ab.

$\rho$ (Skew): Ein einzelner Parameter, der die Neigung des Smiles steuert. Er gilt für alle Laufzeiten gemeinsam. Das ist eine Vereinfachung: In der Realität kann sich der Skew mit der Laufzeit ändern, aber SSVI tauscht diese Flexibilität gegen die Garantie der Kalenderarbitragefreiheit.

$\varphi(\theta_t)$ (Funktion der Smile-Steilheit): Steuert, wie breit der Smile bei jeder Laufzeit ist. Mit wachsendem $\theta_t$ (längere Laufzeiten) flacht der Smile typischerweise ab. $\varphi$ bildet diesen Abfall ab.

Gängige Wahl für $\varphi$

Die Potenzgesetz-Form ist Standard:

Der Trade-off

SSVI hat weniger Freiheitsgrade als SVI pro Slice. Das ist zugleich seine Stärke und seine Einschränkung.

	SVI pro Slice	SSVI
Parameter	5 pro Verfallstermin (25 für 5 Slices)	3 globale + ATM-Kurve
Kalenderarbitrage	Muss nach dem Fitten geprüft und behoben werden	Konstruktionsbedingt ausgeschlossen
Fit-Qualität pro Slice	Exzellent (5 freie Parameter pro Slice)	Gut, aber eingeschränkt
Skew-Variation	Kann je Verfallstermin unterschiedlich sein	Ein einziges $\rho$ für alle Verfallstermine
Einsatzgebiet	Analyse einzelner Slices, dünne Datenlage	Gesamte Oberfläche, Produktions-Pricing

Die größte Einschränkung: SSVI verwendet ein einziges $\rho$ für alle Laufzeiten. In der Praxis ist der Skew bei kurzen Laufzeiten oft steiler als bei langen. SSVI fängt dies teilweise über $\varphi$ ab (das die Steilheit der Flügel je Laufzeit steuert), kann aber nicht die gesamte Variation abbilden, die SVI pro Slice erfasst.

Für die meisten Krypto- und Aktienanwendungen lohnt sich dieser Trade-off. Die Garantie der Kalenderarbitragefreiheit eliminiert eine ganze Klasse von Oberflächenfehlern.

Wenn der Smile mit der Zeit abflacht

Term Structure

Backwardation: Kurzfristige IV > langfristige. Signalisiert Event-Risiko eingepreist.

Zwischen Formen umschalten um zu sehen wie sich Term Structure ändert. Backwardation signalisiert oft bevorstehendes Event.

SSVI bildet auf natürliche Weise die Beobachtung ab, dass Smiles mit längerer Laufzeit flacher sind als solche mit kürzerer Laufzeit. Die Funktion $\varphi(\theta_t)$ fällt mit wachsendem $\theta_t$, wodurch die Breite des Smiles mit der Laufzeit abnimmt. Das entspricht dem Marktverhalten: Kurzfristige binäre Ereignisse erzeugen steile Smiles, während langfristige Smiles über viele mögliche Szenarien mitteln und abflachen.

SSVI fitten

1. Extrahieren Sie die ATM-Varianzkurve $\theta_t$ aus den Marktdaten. Das ist einfach die ATM-IV jedes Verfallstermins, quadriert und mit der Zeit multipliziert.
2. Fitten Sie $\rho$, $\eta$, $\gamma$, indem Sie den gewichteten Fehler zwischen SSVI und beobachteten IVs über alle Strikes und Verfallstermine gleichzeitig minimieren.
3. Erzwingen Sie die Nebenbedingungen während der Optimierung: $\eta(1 + |\rho|) \le 2$, $\gamma \in [0, \tfrac{1}{2}]$, $\theta_t$ steigend.

Die Optimierung ist schnell (3 Parameter) und robust. Nachträgliche Kalenderkorrekturen sind nicht nötig.

SSVI vs. SVI pro Slice

Verwenden Sie SVI pro Slice, wenn:

• Sie sich jeweils nur für einen Verfallstermin interessieren
• Sie maximale Fit-Qualität pro Slice benötigen
• Sie eine dünne Datenlage haben (wenige Verfallstermine) und Flexibilität wünschen
• Sie bereit sind, Prüfungen auf Kalenderarbitrage manuell durchzuführen

Verwenden Sie SSVI, wenn:

• Sie die gesamte Oberfläche für das Produktions-Pricing benötigen
• Kalenderarbitragefreiheit nicht verhandelbar ist
• Sie eine kompakte Darstellung wünschen (3 Parameter + ATM-Kurve)
• Sie über mehrere Verfallstermine gleichzeitig bepreisen

Open-Source-Implementierungen

Repo	Warum ein Blick lohnt
SVI-Vol-Surface	SSVI-Oberflächen-Fitting
QuantLib	SSVI im experimentellen Modul

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Siehe auch:

• SVI-Parametrisierung - Das Modell pro Slice
• ORC Wing (Jump-Wing) - Händlerfreundliche Reparametrisierung von SVI
• Interpolationsmethoden - Alle Methoden im Vergleich
• Wie Oberflächen aufgebaut werden - Die vollständige Pipeline