Diese Seite wurde maschinell übersetzt. Das englische Original ist maßgeblich. Auf Englisch lesen →
Zum Hauptinhalt springen

Stochastische Volatilitätsmodelle

Volatilität bewegt sich. Sie springt bei Crashs nach oben, wird in ruhigen Phasen gedrückt und kehrt mit der Zeit zum Mittelwert zurück. Stochastische Volatilitätsmodelle machen die Volatilität selbst zu einem Zufallsprozess, der sich parallel zum Preis entwickelt.

💡
Zufällige Volatilität erzeugt den Smile

Black-Scholes geht von konstanter Volatilität aus, daher gibt es keinen Smile. Sobald die Volatilität zufällig ist, entsteht der Smile. Jedes Modell in diesem Abschnitt leistet das, jeweils mit unterschiedlichen Annahmen darüber, wie sich die Volatilität bewegt.

Der Stammbaum​

Modell
Jahr
Kernidee
Im Produktiveinsatz?
1993
Volatilität kehrt zum Mittelwert zurück. Hat eine Preisformel (schnell).
Selten allein
1996
Heston + Sprünge. Erfasst sowohl glatte Dynamik als auch Gap-Risiko.
Exotik-Desks
2002
Volatilität ist zufällig + Backbone-Skew. Prognostiziert die Bewegung des Smiles.
Zinsen, FX
2011
SABR mit flexiblem Backbone. Passt auch ungewöhnliche Formen an.
Zins-Nischen
2016
Volatilitätspfade sind rau (zackig). Erklärt den steilen Skew bei kurzen Laufzeiten.
Nur Forschung

Was sie gemeinsam haben​

Alle stochastischen Volatilitätsmodelle haben dieselbe Grundstruktur: Der Preisprozess enthält eine zufällige Volatilitätskomponente, und diese Volatilitätskomponente folgt ihrem eigenen stochastischen Prozess. Die Unterschiede liegen darin, wie dieser Volatilitätsprozess aussieht:

Modell
Volatilitätsdynamik
Mean Reversion?
Sprünge?
Geschlossene Preisformel?
CIR-Prozess (Wurzeldiffusion)
Ja
Nein
Ja (Fourier)
CIR + zusammengesetzte Poisson-Sprünge
Ja
Ja
Ja (Fourier)
Geometrische Brownsche Bewegung auf der Volatilität
Nein
Nein
Näherung (Hagan)
GBM auf der Volatilität + individueller Backbone
Nein
Nein
Nein (PDE)
Fraktionale Brownsche Bewegung
Nein
Nein
Nein (Monte Carlo)

Wie Sie wählen​

  • Sie müssen nur den aktuellen Smile anpassen? → Dann brauchen Sie wahrscheinlich SVI, kein stochastisches Volatilitätsmodell.
  • Sie müssen prognostizieren, wie sich der Smile bewegt? → SABR ist der Standard.
  • Sie bewerten Exoten über die gesamte Laufzeitstruktur? → Bates oder SLV.
  • Sie bauen einen produktiven Pricer für Exoten? → Stochastic Local Vol (ein Hybrid) ist das, was die meisten Desks einsetzen.
  • Sie wollen verstehen, warum der Skew bei kurzen Laufzeiten steil ist? → Rough Bergomi.
  • Sie lernen die Grundlagen? → Beginnen Sie mit Heston. Alles andere baut darauf auf.

Wie sie zusammenhängen​

Heston ist das Fundament. Bates ergänzt Heston um Sprünge. SABR geht einen anderen Weg: keine Mean Reversion, dafür ein Backbone, der die Volatilität an das Preisniveau koppelt. ZABR verallgemeinert den Backbone von SABR. Rough Bergomi ersetzt den gesamten Volatilitätsprozess durch etwas Raueres und empirisch besser Fundiertes, ist für den Produktiveinsatz aber zu langsam.

Im Kryptobereich ist SABR am wichtigsten, um die Dynamik des Smiles zu verstehen und SVI-Fits zu initialisieren. Bates ist relevant für Exotik-Desks, die Sprünge brauchen. Heston und Rough Bergomi sind konzeptionell: Sie erklären, warum Smiles so aussehen, wie sie aussehen.

Modelle in diesem Abschnitt:

Zuletzt aktualisiert am