SVI-Parametrisierung

Info

Diese Seite behandelt das SVI-Modell im Detail. Wie es sich in die Pipeline der Volatilitätsoberfläche einfügt, erfahren Sie unter Wie Oberflächen aufgebaut werden. Einen Vergleich mit anderen Methoden finden Sie unter Interpolationsmethoden.

SVI (Stochastic Volatility Inspired) ist der Branchenstandard für das Fitting von Volatilitäts-Smiles bei Krypto- und Aktienoptionen. Das Modell beschreibt die Form des Smiles bei einem einzelnen Verfall mit 5 Parametern. Der Name rührt daher, dass sich seine Funktionsform aus einem vereinfachten stochastischen Volatilitätsmodell herleiten lässt.

Die Parameter erkunden

Passen Sie jeden Parameter unten an, um zu sehen, wie er den Smile verändert. Mit den Presets springen Sie zwischen gängigen Konfigurationen.

SVI-Parameter-Explorer

Typischer Aktien-/Krypto-Smile. Put-Flügel erhöht.

a (Niveau)0.040

Verschiebt den gesamten Smile nach oben oder unten

b (Steigung)0.250

Wie steil die Flügel sind

ρ (Skew)-0.40

Negativ = Put-Skew, positiv = Call-Skew

m (Verschiebung)0.00

Wo das Minimum des Smiles liegt

σ (Krümmung)0.200

Klein = scharfes V, groß = glattes U

ATM-IV

104.6%

Steigung Put-Flügel

0.350

Steigung Call-Flügel

0.150

Was jeder Parameter bewirkt

• a (Niveau): Verschiebt den gesamten Smile nach oben oder unten. Höheres $a$ = insgesamt höhere IV. Betrachten Sie es als die „Basis“-Varianz.
• b (Steigung): Steuert, wie steil die Flügel sind. Höheres $b$ = steilere Flügel = teurere OTM-Optionen.
• $\rho$ (Skew): Kippt den Smile. Negatives $\rho$ = Put-Skew (normal). Positives $\rho$ = Call-Skew (selten). Null = symmetrisch.
• m (Verschiebung): Verschiebt das Minimum des Smiles nach links oder rechts. Meist nahe null (Minimum am Geld).
• $\sigma$ (Krümmung): Steuert die Rundung des Smile-Bodens. Kleines $\sigma$ = scharfe V-Form. Großes $\sigma$ = glatte U-Form.

Verhalten der Flügel

Weit entfernt vom ATM-Bereich nähert sich der Smile Geraden an. Die Steigungen lauten:

• Put-Flügel (links): Steigung = $b(1 - \rho)$
• Call-Flügel (rechts): Steigung = $b(1 + \rho)$

Bei typischem Put-Skew ($\rho < 0$) ist der Put-Flügel steiler als der Call-Flügel. Dieses begrenzte, lineare Flügelverhalten ist einer der zentralen Vorteile von SVI: Es extrapoliert nie auf absurde Werte.

Fitting an Marktdaten

Ausgehend von einer Menge beobachteter IV-Werte bei verschiedenen Strikes (für einen einzelnen Verfall) bestimmt SVI die 5 Parameter, die diese am besten reproduzieren.

Der Ablauf:

1. Sammeln Sie alle IV-Beobachtungen zum Zielverfall (typischerweise 5 bis 15 Datenpunkte).
2. Rechnen Sie jede in Gesamtvarianz um: beobachtete IV zum Quadrat mal Restlaufzeit.
3. Führen Sie einen gewichteten Kleinste-Quadrate-Optimierer aus, der die Parameter findet, die den Abstand zwischen SVI-Kurve und Beobachtungen minimieren.
4. Gewichten Sie nach Vertrauen: ATM-Optionen erhalten mehr Gewicht (liquider), enge Geld-Brief-Spreads erhalten mehr Gewicht (verlässlicher), tief aus dem Geld liegende Optionen weniger Gewicht.
5. Erzwingen Sie während der Optimierung Arbitrage-Bedingungen (siehe unten).

Geschwindigkeit: Ein einzelner Verfall wird in unter 10 Millisekunden gefittet. Die gesamte Oberfläche (alle Verfälle) wird in Echtzeit neu aufgebaut, sobald sich Quotes ändern.

Arbitrage-Bedingungen

SVI lässt sich so beschränken, dass die meisten Arbitragemöglichkeiten ausgeschlossen sind. Einige Bedingungen sind einfache Ungleichungen für die Parameter; die Freiheit von Butterfly-Arbitrage erfordert zusätzlich eine numerische Prüfung.

Schranke für die Flügelsteigung (notwendig für Freiheit von Butterfly-Arbitrage):

Der Smile muss konvex genug sein, damit kein Butterfly-Spread risikofreien Gewinn bietet. In Gesamtvarianz ausgedrückt dürfen die Flügel nicht schneller wachsen als die Schranke von Roger Lee (siehe unten):

$b(1 + |\rho|) \leq 2$

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend. Ein Smile kann sie erfüllen und dennoch nahe am Geld eine negative Dichte implizieren. Deshalb prüfen Fitter zusätzlich Gatherals Dichtefunktion $g(k) \geq 0$ auf einem Raster von Log-Moneyness-Werten.

Nichtnegative Varianz im Minimum:

Das Minimum des Smiles muss über null liegen:

$a + b\sigma\sqrt{1 - \rho^2} \geq 0$

Kalenderbedingung (über Verfälle hinweg):

Die Gesamtvarianz muss bei jedem Strike mit der Laufzeit zunehmen. Dies wird erzwungen, indem $w_1(k) \leq w_2(k)$ für alle $k$ zwischen aufeinanderfolgenden Verfallsschnitten geprüft wird.

Varianten

SVI hat zwei wichtige Varianten, jeweils mit eigener Seite:

ORC Wing (Jump-Wing) parametrisiert SVI mit händlerfreundlichen Größen neu: ATM-Varianz, ATM-Skew, Steigung des Put-Flügels, Steigung des Call-Flügels und minimale Varianz. Derselbe Smile, andere Stellschrauben. Nützlich, um den Smile von Hand zu bearbeiten.

SSVI (Surface SVI) erweitert SVI auf die gesamte Oberfläche und garantiert Freiheit von Kalender-Arbitrage per Konstruktion. Statt jeden Verfall unabhängig zu fitten, verknüpft SSVI die Verfälle über einen gemeinsamen Skew-Parameter und eine Funktion für die Smile-Steilheit. Weniger Freiheitsgrade, dafür sind keine Korrekturen über Verfälle hinweg nötig.

Gleichungs-Explorer

SVI arbeitet mit Gesamtvarianz und Log-Moneyness. Nutzen Sie diesen Explorer, um zwischen IV, Gesamtvarianz und Strike-Darstellungen umzurechnen.

Gleichungs-Explorer

k = ln(K / F)Log-Moneyness = ln(Strike / Forward)

Strike (K)

$

Der Ausübungspreis der Option

Forward (F)

$

Forward-Preis (≈ Spot bei kurzen Laufzeiten)

Log-Moneyness (k)

-0.0513

Moneyness (K/F)

0.9500

Typ

-5.0% OTM-Put

Die Log-Moneyness ist die x-Achse, die SVI und die meisten parametrischen Modelle verwenden. k = 0 ist ATM. Negatives k = OTM-Put-Seite. Positives k = OTM-Call-Seite.

Warum SVI?

• 5 Parameter reichen aus, um nahezu jeden beobachteten Smile zu fitten. Weniger Parameter als Splines, flexibler als 3-Parameter-Modelle.
• Begrenzte Flügel verhindern ausufernde Extrapolation. Im schlimmsten Fall extrapoliert SVI mit einer endlichen Steigung.
• Einfache Bedingungen halten Flügel und Varianzniveau im vernünftigen Bereich, und Butterfly-Arbitrage lässt sich günstig numerisch auf einem Raster prüfen.
• Schnelles Fitting bedeutet, dass die Oberfläche in Echtzeit mit dem Markt aktualisiert werden kann.
• Weit verbreitet an Volatilitäts-Desks für Krypto und Aktien. Hypercall bezieht die Oberfläche jedes Basiswerts aus dessen konfigurierter Volatilitätsquelle.

Mathematische Intuition aufbauen

SVI von Grund auf lernenInteraktive Lektion · 5 Abschnitte · keine Vorkenntnisse nötig

Die interaktive Lektion oben behandelt SVI von Grund auf: was SVI parametrisiert und warum, jeden der 5 Parameter isoliert, die Umrechnung von Varianz in Volatilität, Arbitragefreiheitsbedingungen sowie die praktische Kalibrierung an Marktdaten.

Open-Source-Implementierungen

Repo	Warum ein Blick lohnt
SVI-Vol-Surface	SVI-Kalibrierung in Python mit Visualisierung
QuantLib	SVI-Parametrisierung in C++

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SVI-Varianten: ORC Wing (Jump-Wing) | SSVI (Surface SVI)

Siehe auch: Wie Oberflächen aufgebaut werden | Interpolationsmethoden | SABR-Modell | Skew