Variance Gamma
Variance Gamma (VG): überhaupt keine Diffusion. Die Preise bewegen sich zwischen Sprüngen nicht gleichmäßig, jede Bewegung ist ein Sprung. Die Sprünge erfolgen auf einer zufälligen Uhr. In Phasen hoher Aktivität läuft die Zeit schnell, in ruhigen Phasen langsam. Diese zufällige Uhr erzeugt Fat Tails, ohne eine „Sprunggrößenverteilung“ wie bei Merton zu benötigen. Die resultierende Volatilitätsoberfläche kann den realen Skew und die Kurtosis des Marktes gleichzeitig abbilden.
Drei Parameter steuern alles: Volatilität (Sigma), Skew (Theta), Kurtosis (Nu).
Die Idee der zufälligen Uhr
Der Markt hat eine eigene innere Uhr, die mit zufälliger Geschwindigkeit läuft. An hektischen Tagen tickt die Uhr schnell, die Preise bewegen sich stark. An ruhigen Tagen bewegt sich die Uhr kaum. VG = Black-Scholes auf einer zufälligen Uhr. Fat Tails und ein natürlicher Smile ergeben sich von selbst, ohne Annahmen über Crashs oder Sprunggrößen.
Parameter erkunden
Probieren Sie zuerst „Thin tails“ aus, um ein Verhalten nahe Black-Scholes zu sehen. Erhöhen Sie dann Nu (Kurtosis) und beobachten Sie, wie sich die Flügel anheben.
Variance-Gamma-Smile-Explorer
Probieren Sie „Dünne Tails“ für ein nahezu flaches Black-Scholes und erhöhen Sie dann ν, um zu sehen, wie die Flügel durch Exzess-Kurtosis ansteigen.
Was jeder Parameter bewirkt
- Sigma (Volatilität): Die Basisvolatilität, wenn die Uhr mit normaler Geschwindigkeit tickt. Das ist das Gesamtniveau, vergleichbar mit der ATM-Volatilität.
- Theta (Skew): Der Drift des Prozesses. Negatives Theta bedeutet, dass sich der Markt in einem gegebenen Zeitschritt tendenziell stärker nach unten als nach oben bewegt. Das erzeugt einen Put-Skew: Der linke Flügel ist steiler als der rechte.
- Nu (Kurtosis): Steuert, wie „zufällig“ die Uhr ist. Niedriges Nu = die Uhr tickt gleichmäßig (dünne Tails, nahe Black-Scholes). Hohes Nu = die Uhr ist sehr unregelmäßig (Fat Tails, steile Flügel). OTM-Optionen werden deutlich teurer.
Warum reine Sprünge?
Black-Scholes und sogar Merton nehmen eine stetige Diffusionskomponente an: Die Preise bewegen sich meist gleichmäßig, mit gelegentlichen Sprüngen. VG sagt: Vielleicht ist jede Preisbewegung unstetig. Auf Tick-Ebene springen die Preise von einem Niveau zum nächsten. Es gibt keinen glatten Pfad zwischen den Trades. Delta-Hedging ist konstruktionsbedingt unvollkommen, da Sie die Auszahlung nicht stetig replizieren können.
Das beschreibt gut, wie Kryptomärkte tatsächlich funktionieren, besonders bei illiquiden Paaren, bei denen das Orderbuch dünn ist und die Preise von einem Niveau zum anderen springen.
Drei Parameter, drei Momente
VG ist elegant, weil jeder Parameter direkt einer statistischen Eigenschaft der Renditen entspricht. Sigma steuert die Varianz (zweites Moment), Theta die Schiefe (drittes Moment) und Nu die Überschusskurtosis (viertes Moment). Keine Redundanz, keine Probleme mit korrelierten Parametern.
VG im Vergleich zu anderen Modellen
VG in der Praxis
VG ist an traditionellen Desks weniger verbreitet als Heston oder SABR, hat aber eine Nische bei Krypto und Kredit:
Ein Parameter pro Moment
Jeder VG-Parameter steuert genau eine statistische Eigenschaft der Renditen. Das ist die sauberste Trennung von Skew und Tail-Dicke unter allen Smile-Modellen. Das Vega-Exposure unter VG unterscheidet sich von Black-Scholes, weil der Smile der impliziten Volatilität nicht flach ist. Wenn Sie mehr als Black-Scholes brauchen, aber nicht die Komplexität von Heston oder SLV, passt VG.
Gleichungs-Explorer
Rechnen Sie zwischen impliziter Volatilität, Gesamtvarianz, Log-Moneyness und Optionspreisen um.
Gleichungs-Explorer
💡 Tipp: Versuchen Sie jede Frage selbst zu beantworten bevor Sie die Antwort aufdecken.
Mathematische Intuition aufbauen
Variance Gamma von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine Vorkenntnisse nötigDiese Lektion vermittelt Variance Gamma über das mentale Modell der zufälligen Uhr und zeigt dann, wie Theta, Sigma und Nu den Skew, die Größe gewöhnlicher Bewegungen und die Dicke der Tails steuern.
Siehe auch:
- Black-Scholes -- Die reine Diffusions-Basis
- Merton Jump-Diffusion -- Diffusion plus Sprünge
- Heston-Modell -- Stochastische Volatilität (diffusionsbasiert)
- Interpolationsmethoden -- Alle Modelle im Vergleich